Печатать книгуПечатать книгу

ЕГЭ 2015

Сайт: Персональный сайт учителя математики и физики Васильевой Ирины Викторовны
Курс: ЕГЭ
Книга: ЕГЭ 2015
Напечатано:: Гость
Дата: Вторник, 17 сентября 2019, 06:21

Вариант №1

Часть 1

Ответом на задания В1–В15 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1. Саша пригласил друзей на свой день рождения, отправив SMS-сообщения 17 друзьям. Отправка одного SMS-сообщения стоит 1 рубль 50 копеек. До отправки сообщений на счету 55 рублей. Сколько рублей останется у Саши после отправки всех сообщений?

В2. 25% участников конкурса прошли в полуфинал, из них 10% оказались в финале. Сколько было участников конкурса, если финалистами оказались 8 человек?

 

В3. На диаграмме показано среднемесячное количество осадков, выпавших в Киеве в 2011 году. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — среднемесячное количество осадков, выпавших в соответствующий месяц, в миллиметрах. 

 

 Определите по диаграмме наименьшее среднемесячное количество осадков. Ответ дайте в миллиметрах.

В4. Для остекления веранды требуется заказать 25 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,4 квадратных метра. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. В какой фирме заказ будет стоить меньше всего? В ответ укажите стоимость этого заказа (в рублях).

В5. Найдите площадь закрашенного сектора. В ответ запишите число равное   S/{pi} .

В6. На столе лежат 10 карточек, на которых написаны числа от 1 до 10. Миша случайно вытягивает одну карточку. С какой вероятностью число на выбранной карточке является составным?

В7. Решите уравнение   log_7(8 + x) = 2 .

В8. В треугольнике АВС АС =ВС, АВ = 30,  sin A = 0,8 , АН - высота. Найдите ВН.

В9. Материальная точка движется прямолинейно по закону

 x(t) = t^3/3 - t^2 - 12t + 9

(где  х - расстояние от точки отсчета в метрах,  t - время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени ее скорость была равна 12 м/с.

В10. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Часть 2

В11. Найдите значение выражения  {5sin98^0}/{sin49^0 * sin41^0}

В12. На рельсах стоит платформа. Скейтбордист прыгает на неё со скоростью v = 3 м/с под острым углом а к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью  где m = 80 кг — масса скейтбордиста со скейтом, а М = 400 кг — масса платформы. Под каким наибольшим углом a (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу до скорости не менее чем 0,25 м/с?

В13. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 42. Найдите площадь поверхности шара.


В14. Смешали 44 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 56 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В15. Найдите наибольшее значение функции  y = 9cosx + 16x - 8  на отрезке  [-{3{pi}}/2, 0] .

Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

С1. а)  Решите уравнение  sin 2x + 2cos^2 x = 1

       б) Найти корни этого уравнения на промежутке  [{pi}/4, {5{pi}}/4]

С2. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC=6  и BD = 12. Высота призмы равна  sqrt{15} . Найдите угол между прямыми  AB_1   и D_1C .

С3. Решите неравенство:  {1 + log^2_3(8 - x)}/{log_4(x + 1) - log_2(2x -8)} {le} 0 .

C4. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали ВD и делит ее в отношении 1 : 2.  Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCM равна 60.

 

C5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  (a + 4x - x^2 - 1)(a + 1 - [x + 2]) = 0  имеет ровно три различных корня.

С6. Среднее арифметическое трех натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее арифметическое обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.


Вариант №2

Часть 1

Ответом на задания В1–В15 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1. Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Маша купила 1 кг 750 гр клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 200 рублей?

В2. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 16530 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

В3. На рисунке жирными точками показана месячная аудитория поискового сайта Ya.ru во все месяцы с декабря 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество человек, посетивших сайт хотя бы раз за данный месяц. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.

Определите по рисунку, сколько месяцев из данного периода месячная аудитория колебалась в пределах от 3000000 до 3300000 человек.

В4. Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Тарифный план

Абонентская плата

Плата за трафик

План "0"

Нет     2,5 руб. за 1 Мб

 

План "500"

550 руб. за 500 Мб трафика в месяц

2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб

План "800"

700 руб. за 800 Мб трафика в месяц

1,5 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб

 Пользователь предполагает, что его трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешевый тарифный план.

Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 650 Мб?

В5. Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны  41/sqrt{pi} и   37/sqrt{pi}.

В6. Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит».

Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.

В7. Решите уравнение  sin {{pi}x}/3 = 0,5 . В ответ запишите наименьший положительный корень уравнения.

В8. Диагонали ромба равны 16 и 30. Найдите длину стороны ромба.

В9. Прямая  y = x + 3  является касательной к графику функции  y = ax^2 + 3x - 2. Найдите  a

В10. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Часть 2

В11. Найдите значение выражения  f(x - 7) * f(7,5 -x), если  f(x) = 25^x .

В12. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону  m (t) = m_0 * 2^{-t/T} , где m_0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошедшее от начального момента, T (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа  m_0 =50 мг. Период его полураспада  T=5 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

В13. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.

В14. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 82 килограммов изюма?

В15. Найдите точку максимума функции  y = (3x^2 - 15 x+15)e^{x + 15} .

Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

С1. Решите уравнение  (2sin^2x - 7sin x + 3)log_14{( - cos x)} = 0 .

С2. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат  ABCD со стороной 4 и центром O. Высота SH пирамиды равна 3, а точка H является серединой отрезка AO. Найдите угол между плоскостью SBC и плоскостью основания пирамиды.

С3. Решите неравенство  4log_x{4} + 3log_{4/x}4 + 4log_{16x}{4} {le} 0.

С4. В треугольнике ABC AB = 12 , BC = 5, CA = 10 . Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 4 : 9 . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB , касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF .

 

С5. Найдите все хначения параметра  a , при котором уравнение

 x^2 - ([a + 5] - [a - 5])x + (a - 12)(a + 12) = 0

имеет два различных отрицательных корня. 

C6. Перед каждым из чисел 6; 7; ...; 11 и 9; 10; ...; 17 произвольным образом ставят знак плюс или минус после чего от каждого из обрадовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из обрадовавшихся чисел второго. а затем все 54 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 


Вариант №3

Часть 1

Ответом на задания В1–В15 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1. Автобус проехал до Москвы 1200 км. Цена бензина 18 рублей за литр. Средний расход топлива 20 литров на 100 км. Сколько рублей потратил на бензин водитель автобуса за эту поездку?

В2. Кузьма Иванович положил 15 тыс. рублей на вклад "Выгодный". Через год он забрал все накопленные деньги - 16725 рублей. Какова годовая процентная ставка по вкладу "Выгодный"?

 

В3. На диаграмме представлены результаты ЕГЭ 2010 по математике (по горизонтали указано число баллов, по вертикали — количество выпускников, набравших данное количество баллов в 2010 году). Красным цветом выделены столбцы диаграммы, соответствующие данным о школьниках, не сдавших экзамен.


Какое минимальное количество баллов надо было получить, чтобы сдать ЕГЭ в 2010 году?

В4. В магазине одежды действует дисконтная система: при предъявлении дисконтной карты предоставляется скидка на покупку в размере 12% от полной стоимости товара. Стоимость покупки составляет 5500 рублей, а цена дисконтной карты 500 рублей. Какой вариант дешевле: оплатить товар по полной стоимости или купить карту и воспользоваться скидкой?

В ответе укажите, наименьшую сумму, которую должен будет заплатить покупатель, выбрав наиболее дешевый вариант (в рублях).

В5. Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки  A (5; 8) и В(-1; 3). 

В6. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

В7. Решите уравнение   {5x-4}/6={4x-5}/5  

В8. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника образует с его стороной угол 60°. Определите высоту треугольника, проведённую к основанию, если его боковая сторона равна 30 см.

В9. Прямая  y = 6x + 9  параллельна касательной к графику функции   y = x^2 + 7x - 6 . Найдите абсциссу точки касания.

В10. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Часть 2

В11. Найдите значение выражения   log_a(a/b^5) , если   log_a{b} = 3

В12. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону  

 

где m0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начала распада, Т — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее m0 = 40 мг изотопа азота-13, период полураспада которого T = 10 мин. В течение скольких минут масса изотопа азота-13 будет не меньше 10 мг?

В13. Стороны основания правильной шестиугольной призмы равны 3, боковые ребра равны 8. Найдите расстояние между вершинами   A  и  D_1 .

 

В14. Автомобиль проехал треть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшееся расстояние — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

В15. Найдите наименьшее значение функции   y = 2(x - 20)sqrt{x + 7} + 5 на отрезке   [-6; 2] .

 

 Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

 

С1. Решите уравнение  7sin^2 x + 4sin x cos x - 3 cos^2 x = 0 . Найдите корни, принадлежащие отрезку  [- {3{pi}}/2; {pi}/2].

C2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 , ребра которой равны 1, найти расстояние от точки A до прямой  BC_1 .

C3. Решите неравенство

  {14^{1 + log_7{x}}}/{7log^2_17(17x)log_{1/7}(49x)}{le}{(4*2^{1 + log_7{x}})^{1 + log_7{x}}}/{4log^2_17(17x)log_{1/7}(49x)} .

C4. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла. 

C5. Найдите все такие целые  a, b , для которых один из корней уравнения  ax^2 + bx + 16 = 0  равен  1 + sqrt{5}.

C6. Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.


Вариант №4

Часть 1

Ответом на задания В1–В15 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1. Сыр стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее количество сыра можно купить на 60 рублей?

В2. Пятиклассников попросили ответить на вопрос: "Почему вы читаете книги?" При этом было предложено 4 варианта ответа: 

    1. Мне нравится читать. 

    2. Мои родители и учителя требуют, чтобы я читал. 

    3. Я ненавижу читать. Это скучное занятие.  Первый вариант выбрали 68% опрошенных, второй - 23%.

    Сколько процентов опрошенных выбрали третий вариант?

В3. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры {{60}^{circ }}C до температуры {{90}^{circ }}C.

2B40A96CC0119FBF4E6196AA92D4392D/img2.png

В4. Строительный подрядчик планирует купить 5 т облицовочного кирпича у одного из трех поставщиков. Вес одного кирпича 5 кг. Цены и условия доставки приведены в таблице. Во сколько рублей обойдется наиболее дешевый вариант покупки?

ПоставщикЦена кирпича (руб. за шт)Стоимость доставки (руб.)Специальные условия
А177000Нет
Б186000Если стоимость заказа выше 50000 р, доставка бесплатно
В195000При заказе свыше 60000 р. доставка со скидкой 50 %.

 

B5. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника. 

В6. Учительница разбила класс на 8 групп по 4 человека, выдав каждой группе тему доклада для следующего урока и назначив старшего в группе. Антон - старший в некоторой группе - накануне весь вечер играл в футбол, поэтому его группа доклад не подготовила. Учительница может вызывать для презентации доклада любого учащегося, кроме старших по группам. Какова вероятность, что вызовут школьника из группы Антона?

В7. Решите уравнение  5^{x}* 2^{-x} = 0,4 .

В8. Найдите диагональ прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

MA.OB10.B4.218/innerimg0.jpg

В9. На рисунке изображен график производной функции  f(x) , определенной на интервале (-12; 2). Найдите количество таких чисел  x_i , что касательная к графику функции   f(x)  в точке   x_i  параллельна прямой   y = 2x - 5  или совпадает с ней. 

В10. Найдите угол ABD многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

b9_222.eps

Часть 2

В11. Найдите значение выражения  (b^{sqrt{3} + 2})^{sqrt{3} - 2} при b = 0,4. 

В12. Катер должен пересечь реку шириной L = 100 м так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Скорость течения реки u — 0,5 м/с. Время в пути, измеряемое в секундах, равно ,

где а — острый угол между осью катера и линией берега. Под каким минимальным углом а к берегу нужно направить катер, чтобы время в пути было не больше 200 с? Ответ дайте в градусах.

В13. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на pi .

MA.E10.B9.10/innerimg0.jpg

В14. У Пети есть 120 рублей. Каждый день он тратит больше, чем в предыдущий день, на одну и ту же сумму. Известно, что за первый день Петя потратил 10 рублей. Определите, какую сумму потратил Петя в последний день, если все свои деньги он потратил за 6 дней.

В15. Найдите точку максимума функции  y = (x +16)e^{16 - x}.

Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

С1. Решите уравнение  (5sin^2 x + 4cos x - 4)ln(x - 7) = 0 . Найдите корни, принадлежащие отрезку  [{3{pi}}/2; 3{pi}] .

C2. В правильной шестиугольной призме  ABCDEFA_1B_1C_1D_1F_1, ребра которой равны l , найти расстояние от точки A до плоскости  A_1B_1C

C3. Решите неравенство {log_{[x - 2]}(3x + 3 - x^2)}/{sqrt{3x - x^2}}{le} 0.

С4. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44 , AD = 100 , AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC , касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

С5. При каких значения параметра  a  уравнение 

 {x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 3a - 2}/{x^2 - 6x + 5} = 0

имеет единственное решение?

С6. Докажите, что квадрат целого числа при делении на 4 может давать только два остатка: 0 и 1.


Вариант №5

В1. Поезд Ростов-на-Дону-Москва отправляется в 14:40, а прибывает в 9:40 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

В2. Гелевая ручка стоит 12 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно купить на 800 рублей после понижения цены на 20%?

В3. На рисунке точками показано суточное количество осадков, выпавших в Кирове с 5 по 17 марта 1975 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа из указанного периода впервые выпало 35 миллиметров осадков.

В4. Журнал "Велогосударство" определяет рейтинги марок велосипедов на основе показателей безопасности S, комфорта G, функциональности F, качества Q И дизайна D. Каждый отдельный показатель оценивается по 5-балльной шкале. Рейтинг R вычисляется по формуле  R = {5S + 3C + 3F + 2Q + 2D}/75. В таблице даны оценки каждого показателя для трех моделей велосипедов. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице велосипедов.

В5. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (3; 1), (7; 1), (7; 7), (9; 7).

В6. На книжной полке Максима 25 книг: 12 детективов, 4 учебника по математике и 9 книг в жанре "фэнтези". Найдите вероятность того, что наудачу взятая в этой полки книга окажется учебником по математике.

В7. Найдите корень уравнения  -3/7x = -45/7.

В8. В треугольнике АВС угол С равен 90°, синус угла ВАС равен  3/5. Найдите косинус угла ВАD.

В9. На рисунке изображены график функции  y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции  y = f(x) в точке x_0.

В10. Найдите квадрат расстояния между вершинами  D и  C_1 прямоугольного параллелепипеда  ABCDA_1B_1C_1D_1 со сторонами  AB = 6 AD = 7 AA_1 = 9.

 Часть 2

В11. Найдите значение выражения {1,44 * 1,05}/{2,1 * 0,12} .

В12. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшлй высоте h над Землей, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле  l = sqrt{2Rh}, где  R = 6400 (км) - радиус Земли. Найдите, с какой высоты линия горизонта видна на расстоянии 4 км. Ответ выразите в метрах.

В13. Найдите объем многогранника, вершины которого являются точки  C, D, A_1, B_1, C_1, D_1 прямоугольного параллелепипеда  ABCDA_1B_1C_1D_1 , у которого  AB = 4, AD = 22, AA_1 = 6 .

В14. Первые два часа автомобиль двигался со скоростью 65 км/ч, следующий час - со скоростью 80 км/ч, а затем три часа - со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

В15. Найдите точку минимума функции y = (x - 2)^2(2x + 3) + 5.

C1. a) Решите уравнение  cos({pi} + x) + sin{{pi} + x}/2 = 1.

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  (3{pi}; {9{pi}}/2).

C2. В правильной треугольной призме  ABCA_1B_1C_1 точка О - центр основания. Диагонали боковых граней  AA_1C_1C и  AA_1B_1Bпересекаются в точках  K и  P соответственно. Найдите площадь сечения, проходящего через точки  O, K, P и составляющего с плоскостью основания угол 30°, если сторона основания равна 12.

С3. Решите систему неравенств:

 27^{2/x} {ge} 3^{{2x + 3}/x} - 18,

 log_{x^2}16 {le} 3 - log_{2x}64.

С4. В прямоугольный треугольник  ABC  c прямым углом  C  вписана окружность. Отрезок  PK  - ортогональная проекция окружности на гипотенузу.

а) Докажите, что угол  PCK = 45^o .

б) Найдите площадь треугольника  PCK , если  AC = 5, BC = 12 .

С5. При каких значениях параметра  a  уравнение

 2log_{ax - 5}(2x^2 - 5x + 4) = log_{sqrt{ax - 5}}(x^2 + 2x - 6)

имеет единственное решение.

С6. Возможно ли в каждом из следующих случаев найти  n целых чисел, сумма которых равна  n и произведение тоже равно  n:

а)  n = 161;

б)  n = 19;

в)  n = 64^k, k {ge} 1.

 


Вариант №6

Часть 1

В1. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 14 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 20 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 23 литров маринада?

В2. 8 выпускников школы собираются продолжить обучение в вузах других городов. Они составляют 5% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

В3. На диаграмме показаны среднемесячные температуры воздуха (в  градусах Цельсия) в городе N по результатам наблюдений в течение года. Укажите количество месяцев с положительной среднемесячной температурой. 

В4. Независимое агенство каждый месяц определяет рейтинг R новостных сайтов на основе показателей информативности In, оперативности Op и объективности Tr публикаций. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от -4 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле  R = ({2In + 2Op + 4Tr}/12 + 2) * 25 . В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Найдите наибольший рейтинг среди сайтов, представленных в таблице. Запишите его в ответ, округлив до целого числа.

В5. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1; 0), (1; 8), (8; 3), (8; 7).

В6. В книге 400 страниц, из них на 36 есть картинки. Школьник открывает книгу на удачу выбранной странице. Какова вероятность того, что на открытой странице не будет картинки?

В7. Решите уравнение  {x - 3}/{9x + 4} = {x - 3}/{4x + 9} . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ укажите больший из них.

В8. В четырехугольник  ABCD со сторонами  AB = 17, BC = 14, CD = 22 вписана окружность. Найдите четвертую сторону четырехугольника.

В9. На рисунке изображен график функции  y = f(x) и касательная к этому графику, проведенной в точке с абсциссой  x_0. Найдите значение производной функции  y = f(x) в точке  x_0.

 

В10. Диагональ  AC  основания правильной четырехугольной пирамиды  SABCD равна 24. Длина бокового ребра равна 13. Найдите высоту  SO .

Часть 2

В11. Найдите значение выражения  {(3a^2)^3 * (4b)^2}/(12a^3b)^2.

В12. Независимое агенство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от -4 до 4. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится впятеро, информативность втрое, а оперативность вдвое дороже, чем качество сайта. Таким образом, формула приняла вид  R = {3In + 2Op + 5Tr + Q}/A . Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число  A , при котором это условие будет выполняться.

В13. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки  C, A_1, B_1, C_1, D_1  параллелепипеда  ABCDA_1B_1C_1D_1, у которого  AB = 8, AD = 12, AA_1 = 4.

В14. В сосуд, содержащий 6 литров 15%-ного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В15. Найдите точку максимума функции  y = (x - 6)^2(2x + 3) + 4 .

C1. а) Решите уравнение  cos {{pi} + x}/2 - cos({pi} + x) = 1.

      б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  (4{pi}; {11{pi}}/2).

C2. В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 на диагоналях граней  AD_1  и  D_1B_1 взяты точки Е и F так, что  D_1E = 1/3 AD_1, D_1F = 2/3 D_1B_1 . Найти длину отрезка  EF .

C3. Решите систему неравенств

 125^{2/x} {ge} 5^{{2x + 3}/x} - 24,

 log_{x^2}81 + log_{3x}27{le} 2.

C4. Около треугольника ABC описана окружность с центром О. Найдите величину угла ACB , если угол ОСB равен 10°, а угол АОС равен 40°.

C5. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  x^4 + (a + 1)x^3 + (2a + 1)x^2 - (a + 1) x + 1 = 0  на промежутке  x < 1  имеет не менее двух корней.

C6. Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключённые между

числами 210 и 350.

а) Может ли такая прогрессия состоять из четырёх членов?

б) Может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?


Вариант №7

В1. Прогулочный катер "Надежда" рассчитан на 120 пассажиров и 13 человек команды. Каждая спасательная лодка может вместить 8 человек. Какое наименьшее число лодок должно быть на катере, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

В2. Оптовая цена футболки 240 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких футболок можно купить по розничной цене на 9000 рублей?

В3. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градуса Цельсия) на протяжении одного года в некотором городе. По горизонтали отмечается номер месяца в году, по вертикали - температура воздуха. Укажите количество месяцев, в которых среднемесячная температура воздуха была выше 5°С.

В4. В магазине бытовой техники объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 25 000 рублей, он получает сертификат на 3 000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 3 000 рублей.Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель Р хочет приобрести ноутбук ценой 23 500 рублей, вентилятор ценой 2 800 рублей и плеер ценой 1 930 рублей. В каком случае Р заплатит меньше всего?

   1) Р купит все три товара сразу.

   2) Р купит сначала ноутбук и плеер, получит вентилятор за сертификат.

   3) Р купит сначала ноутбук и вентилятор, получит плеер за сертификат.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит Р з покупку в этом случае.

В5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в кв.см.

В6. Вероятность того, что новый мобильный телефон прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,78. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

В7. Найдите корень уравнения  log_15(2x + 11) = log_15{4}.

В8. Хорда ВС делит окружность радиуса 14 на две части, градусные величины которых относятся как 6 : 30. Найдите хорду ВС.

В9. Материальная точка движется прямолинейно по закону  x(t) = - 1/5 t^2 + t^4 - t^3 + 5t, где  x - расстояние от точки отсчета в метрах,  t  - время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени  t = 2 c.

В10. Найдите квадрат расстояния между вершинами  C_2 и  A_3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

 Часть 2

В11. Найдите значение выражения  log_5{12,5} + log_5{10}.

В12. Для одного из предприятий зависимость объема спроса на продукцию  k (единиц в месяц) от цены  q (тыс. руб.) задается формулой  k = 150 - 10q. Определите максимальный уровень цены q  (тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц  p = qk составило бы не менее 260 тыс. рублей.

В13. Площадь большого круга шара равна 22,5. Найдите площадь поверхности шара.

В14. Маша и Даша выполняют одинаковый тест. Маша за час отвечает на 15 вопросов теста, а Даша - на 12. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Даша закончила свой тест на 20 минут позже Маши. Сколько вопросов содержал тест?

В15. Найдите точку минимума функции  y = 2x^3 - 150x + 11 .

C1. а) Решите уравнение  2 cos 2x = sin({3{pi}}/2 - x) - 2.

      б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку  [0; {pi}] .

C2. В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите расстояние от точки   D_1 до прямой   PQ, где    P и   Q - середины соотвественно ребер   A_1B_1 и   BC

C3. Решите систему неравенство

 2^x {le} 3,

 log_x(3/2x - 1) {ge} -1 

С4. Трапеция с основаниями  14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

С5. Найдите все значения параметра  a , при каждом из которых уравнение  [x^2 - 10x + 21] + [x^2 - 10x + 9] = a имеет ровно три различных корня.

С6. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.

   а) Может ли в последовательности быть три члена?

   б) Может ли в последовательности быть четыре члена?

   в) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?


Вариант №8

В1. В летнем лагере на каждого участника полагается 400 граммов риса в день. В лагере 143 человека. Сколько килограммовых пачек риса понадобится на весь лагерь на 8 дней?

В2. Билет в театр для взрослого стоит 420 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 16 школьников и 4 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

В3. На диаграмме показана среднемесячная температура (в градусах Цельсия) в г. Челябинске. Найдите количество месяцев со среднемесячной температурой выше 15 градусов.

В4. От дома до огорода Семена Николаевича может доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице указано время, еоторое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

В5. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В6. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в среду в автобусе окажется меньше 40 пассажиров, равна 0,89. Вероятность того, что окажется меньше 28 пассажиров, равна 0,37. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 28 до 39.

В7. Найдите корень уравнения  log_{0,5}(5x - 1) = log_{0,5}{14}.

В8. Четырехугольник  ABCD вписан в окружность. Угол   ABC равен 125, угол   CAD равен 55. Найдите угол   ABD. Ответ дайте в градусах.

В9. Материальная точка движется прямолинейно по закону  x(t) = 1/3t^3 - 2,5t^2 - 2t + 2, где  x(t)- расстояние от точки отсчета в метрах,  t- время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) скорость точки была равна 4 м/с? 

В10. Найдите квадрат расстояния между вершинами  A и  C_2 многогранника. Все двугранные углы многогранника прямые.

Часть 2

В11. Найдите значение выражения  {42}/{5^{log_5{7}}}.

В12. Для одного из предприятий зависимость объема спроса на продукцию  p (единиц в месяц) от цены  k (тыс. руб.) задается формулой  p = 275 - 22k. Определите максимальный уровень цены   k (тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц   q = pkсоставило бы не менее 550 тыс. рублей.

В13. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все ребра увеличить в 1,7 раза?

В14. В 2006 году в поселке Далекий Лес проживало 3000 человек. В 2007 году количество жителей снизилось на 12%, а в 2008 году - на 20% по сравнению с 2007 годом. Сколько человек стало проживать в поселке в 2008 году?

В15. Найдите точку максимума функции  y = - sqrt{x^2 - 8x + 17}.

C1.  а) Решите уравнение  2 cos 2x + cos x = sin({3{pi}}/2 + x) - 2.

       б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку  [{pi}; 2{pi}].

C2. В основании пирамиды  MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон  AB/AD = 1/2. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60. Точка  R - середина ребра MC. Найдите угол между плоскостями  MAC и  ADR.

C3. Решите систему 

C4. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 8 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающегося данной и проходящей через концы основания треугольника.

C5. При каких значения  a уравнение  2log^2_3{x} - [log_3{x}] + a = 0 имеет четыре различных корня?

C6. Докажите, что  n^3 + 2n  делится на 3.


Вариант №9

В1. Таксист за месяц проехал 8000 км. Стоимость 1 литра бензина - 30 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 8 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

В2. Одна книга из серии "От Кантемира до Кушнера" стоит 180 рублей. Какое наибольшее количество книг этой серии можно купить на 1050 рублей, если скидка составляет 25%?

В3. На рисунке точками показано суточное количество осадков, выпавших в городе Томске 22 октября в 1925, 1930, 1935, 1940, 1945, 1950, 1955, 1960, 1965 годах. По горизонтали указываются годы, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий год, в миллиметрах. Для наглядности точки соединены линией. Определите по рисунку, какое наибольшее количество осадков выпало 22 октября в Томске в рассмотренные годы. Ответ дайте в миллиметрах.

В4. Для транспортировки 73 тонн сахара на 800 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей будет стоить самая дешевая перевозка?

В5. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В6. Завод производит мобильные телефоны. В среднем на 160 качественных телефонов приходится 40 телефонов со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный телефон этого завода окажется качественным.

В7. Найдите корень уравнения  (1/4)^{11- 9x} = 1/{16} .

В8. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 8. Найдите высоту этого треугольника.

В9. На рисунке изображен график функции  y = F(x)  - одной из первоообразных некоторой функции  f(x), определенной на интервале  (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения  f(x) = 0 на отрезке [-3; 4].

В10. Найдите квадрат расстояния между вершинами  A и  B_2 многогранника, изображенного на рисунке.

Часть 2

В11. Найдите значение выражения  (sqrt{3 5/17} - sqrt{7 7/17})/{sqrt{7/34}}.

В12. Небольшой камень бросают под некоторым углом  a к плоской горизонтальной поверхности земли. Найдите, при каком наименьшем значении угла (в градусах) камень перелетит через реку шириной 7,2 метра, если расстояние, которое он преодолевает, вычисляется по формуле  L = {v^2_0}/g sin 2a, где  v_0 = 12 м/с - начальная скорость камня,  g = 10 м/с2- ускорение свободного падения.

В13. Объем цилиндра равен 9. У конуса радиус основания в 3 раза больше, а высота в 2 раза меньше. Найдите объем конуса.

В14. Анна, Мария, Людмила и Александр учредили компанию с уставным капиталом 240 000 рублей. Лнна внесла 15% уствного капиатала, Мария - 43 200 рублей, Людмила - 0,25 уставного капитала, а оставшуюся часть внесла Александра. Учредители договорились, что полученную прибыль они будут делить пропорционально внесенному вкладу. Найдите сумму (в рублях), причитающуюся Александре, если годовая прибыль компании составила 820 000 рублей.

В15. Найдите точку минимума функции  y = 5 + log_4(x^2 -8x + 21).

С1. а) Решите уравнение  2 sin^2({7{pi}}/2 + x) = 5 sin x + 4.

      б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку  [-{2{pi}}/3; {19{pi}}/6].

С2. В конус вписана сфера радиуса 1. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости оснвоания и касающейся сферы, если радиус основания конуса равен  sqrt{3}.

С3. Решите систему неравенств

С4. В одну и ту же окружнсоть вписаны треугольники ABC и ADE так, что отрезки BC и DE пересекаются в точке M, AD и BC -  в точке K, AC и DE -  в точке N. Около четырехугольника AKMN описана окружность.

   а) Докажите, что треугольники KDM и ADN подобны.

   б) Найдите угол DEC, если угол BME = 165°.

C5. Найдите все значения параметра  a, при которых уравнение  5x^4 + 7ax + 2a^2 = 0 имеет хотя бы один целый корень.

С6. Докажите, что количество делителей числа  a = p^{n_1}_1 p^{n_2}_2 ... p^{n_s}_s равно  (n_1 + 1)(n_2 + 1)...(n_s + 1). Найдите, сколько делителей имеет число 504.


Вариант №10

В1. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 120 рублей за штуку. У Юры есть 800 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Оле на день рождения?

В2. Одна поездка в маршрутном такси стоит 20 рублей. Какое наибольшее число поездок можно будет совершить на 1600 рублей после повышения цены проезда на 30%?

В3. На рисунке представлено изменение температуры в течение одного из дней сентября 2011 года в городе Самара. По горизонтали отмечено время в часах, по вертикали - температура воздуха в градусах Цельсия. Определите по рисунку температуру воздуха (в градусах Цельсия) в 12 часов дня.

В4. В первом банке одну украинскую гривну можно купить за 4,23 рубля. Во втором банке 40 гривен - за 164 рубля. В третьем банке 30 гривен - за 122 рубля 40 копеек. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 120 гривен?

В5.  KL - средняя линия треугольника  ABC, параллельная стороне  BC. Площадь треугольника  ABC равна 108. Найдите площадь треугольника  KAL.

 

В6. Рядом находятся два автомата для продажи кофе. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один из этих автоматов исправен.

В7. Найдите корень уравнения  sqrt{{2x - 8}/4} = 3.

В8. В треугольнике  ABC  AC = BC = 68, sin A = 8/17. Найдите  AB.

В9. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной и дифференцируемой на интервале (-6; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции  f(x) параллельна прямой  y = 4 или совпадает с ней.

 

В10. В правильной четырехугольной призме  ABCDA_1B_1C_1D_1 с основаниями  ABCD и  A_1B_1C_1D_1 сторона основания  ABравна 4, а высота  AA_1| равна  8sqrt{2}. Найдите расстояние между точкой  C и серединой бокового ребра AA_1.

Часть 2

В11. Найдите значение выражения  8sqrt{6} sin ({9{pi}}/4) sin{pi}/3.

B12. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрочайник. Каково наименьшее возможное сопротивление (в Омах) электрочайника, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями  R_1 и  R_2 их общее сопротивление задается формулой   R = {R_1 R_2}/{R_1 + R_2}, а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 36 Ом?

В13. Дана правильная шестиугольная призма  ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1, площадь основания которой равна 17, а боковое ребро 8. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки  C, D, E. F, C_1, D_1, E_1, F_1.

В14. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо семафора за 18 с. Найдите длину поезда в метрах.

В15. Найдите точку максимума функции  y = ln(x + 5)^4 - 10x.

C1. а) Решите уравнение  sin 2x + sin ({5{pi}}/2 - x) = 0.

      б) Найдите корни уравнения на промежутке  (-2{pi}; -0,5{pi}).

C2. В правильной треугольной призме  ABCA_1B_1C_1 боковое ребро равно 3, а сторона основания - 5. Найдите косинус угла между плоскостями  ABC_1 и  A_1B_1C.

С3. Решите систему неравенств:

С4. Диагонали  AC и  BD трапеции  ABCD пересекаются в точке  E. Площадь треугольника AED равна 75, а точка  E делит одну из диагоналей в отношении 5 : 1.  BC - основание трапеции.

    а) Докажите, что площади треугольников  ABE и  CED равны.

    б) Найдите площадь трапеции.

С5. При каких значения  a  уравнение  2a(x + 1)^2 - [x + 1] + 1 = 0 имеет четыре различных корня?

С6. Какие цифры можно вставить вместо звездочек (*) в записи 35*4*, чтобы полученное пятизначное число делилось на 45?


Вариант №11

В1. Одна роза стоит 80 рублей. В пятницу в цветочном магазине действует специальное предложение: заплатив за две розы, покупатель получает третью розу в подарок. Какое наибольшее количество роз можно купить на 500 рублей в пятницу в этом магазине?

В2. Клиент взял в банке кредит 18 000 рублей на год под 22%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

В3. На диаграмме показано изменение температуры воздуха на протяжении четырех суток. По горизонтали указывается дата, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по диаграмме самую высокую температуру 16 марта. Ответ дайте в градусах Цельсия.

В4. Василий Петрович загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 78 Мб за 63 секунды, Василий Егорович - 79 Мб за 64 секунды, а Василий Васильевич - 77 Мб за 62 секунды. Сколько секунд будет загружаться файл объемом 462 Мб на компьютер с наибольшей скоростью загрузки из сети Интернет?

В5. Периметр параллелограмма равен 50. Меньшая сторона равна 7. Найдите большую сторону параллелограмма.

В6. Иван Петрович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наугад выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Иван Петрович попадет в точку Е.

В7. Найдите корень уравнения  sqrt{4/{5x - 2}} = 1.

В8. Хорды MN и KL пересекаются в точке D. Найдите ND, если KD = 4DL = 27MD = 36.

В9. На рисунке изображен график  y = f'(x) - производной функции  f(x), определенной на интервале (-6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции  f(x) параллельна прямой  y = 2x - 8 или совпадает с ней.

 

В10. Найдите расстояние между вершинами  D и  B_1 прямоугольного параллелепипеда  ABCDA_1B_1C_1D_1, для которого  AB = AA_1 = 17,5, AD = 17,5sqrt{2}.

Часть 2

В11. Найдите значение выражения  {6sin 37^o sin 53^o}/{sin 74^o}.

В12. Зависимость объема спроса  q (единиц в месяц) на продукцию предприятия от цены  p (тыс. руб.) задается формулой  q = 72 - 6p. Выручка предприятия за месяц  r (тыс. руб.) вычисляется по формуле  r(p) = qp. Определите наибольшую цену  p, при которой месячная выручка  r(p)составит не менее 120 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

В13. Радиус основания конуса равен 4, высота - 93. Найдите объем части этого конуса, изображенного на рисунке. В ответ укажите  V/{pi}.

В14. Один токарь может выполнить заказ за 10 часов, второй - за 15 часов, а третий - за 12 часов. За сколько часов три токаря выполнят заказ, работая вместе?

В15. Найдите наибольшее значение функции  y = 5^{-3x^2 + 18x - 24}.

С1. а) Решите уравнение  cos 2x + sin (x - {5{pi}}/2) + 1 = 0 .

      б) Найдите корни уравнения на промежутке  (2,5{pi}; -0,5{pi}) .

C2. В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите угол между плоскостью грани  AA_1B_1B и плоскостью  BC_1D, если  AB = BB_1 = 3, BC = 5.

C3. Решите систему неравенств

С4. Площадь трапеции  ABCD равна 120, а основание  AD трапеции втрое больше другого основания. Отрезок, соединяющий точку  Pоснования  AD  с вершиной  B, пересекается с диагональю  AC трапеции в точке  M, точка  P делит основание  AD в отношении 1 : 2.

    а) Докажите, что либо  ABCP, либо  BCDP - параллелограмм.

    б) Найдите площадь четырехугольника  CMPD.

C5. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  {(x^3 - 1)(x^2 - 16)}/{lg(15a - x) - lg(x - a)} = 0 имеет единственное решение.

C6. Придумайте формулу n-го члена для следующих последовательностей:

а) 1;3;5;7; ...; б) 5;8;11;14; ... ; в) 1;4;9;16; ... ; г) 1; 2;3; 4; ... .


Вариант №12

В1. Для приготовления яблочного варенья на 1 кг яблок нужно 1,2 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 26 кг яблок?

В2. На бензоколонке один литр бензина стоит 30 руб. 20 коп. Водитель залил в бак 10 литров бензина и купил бутылку воды за 49 рублей. Сколько рублей сдачи он получит с 1000 рублей? 

B3. На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 18 сентября 2007 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена тонны олова в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена олова на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период.

В4. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Абонент выбрал самый дешевый тарифный план исходя из предположения, что общая длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 700 минутам? Ответ дайте в рублях.

В5. Площадь параллелограмма  ABCD равна 92. Точка  F - середина стороны  BC. Найдите площадь трапеции ADFB .

B6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

В7. Найдите корень уравнения sqrt{2x + 31} = 9 .

B8. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную  1/5 окружности. Ответ дайте в градусах.

В9. На рисунке изображен график дифференцируемой функции y = f(x)  и отмечены семь точек на оси абсцисс:  x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7. В скольких из этих точек производная функции  f(x)  положительна.

В10. В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины ребер  AB = 15, AD = 8, AA_1 = 21. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины  B, B_1, D.

 

В11. Найдите  16 cos 2x, если  cos x = 0,5.

B12. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 64 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.

В13. Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре  C = 4 * 10^{-6}Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением  R= 2 * 10^6  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе   U_0 = 22  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением  t = aRC log_3{{U_0}/U} (с), где  a = 1,7 - постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 27,2 секунды. Ответ дайте в кВ.

В14. В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

В15. Найдите наибольшее значение функции  y = 11 * ln(x + 4) - 11x - 5 на отрезке [-3,5 ; 0].

С1. а) Решите уравнение  sqrt{2} cos^2 x = sin(x - {pi}/2).

      б) Найдите корни уравнения на промежутке  [-{3{pi}}/2; -{pi}].

С2. Основание пирамиды  ABCD – равнобедренный треугольник  ABC с основанием  AB = 12 и боковой стороной 10. Найти объем пирамиды, если все боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы в 45° .

С3. Решите систему неравенств 

 

С4. На окружности радиуса 20 с центром в вершине С треугольника АВС взята точка Р. Известно, что АВ = 25, АС = 15, ВС = 20, а треугольники АРС и ВРС равновелики. Найдите расстояние от точки Р до прямой АВ, если известно, что оно меньше 25.

С5. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  cos(sqrt{a^2 - x^2}) = 1 имеет восемь решений.

С6. Сколько имеется трехзначных чисел, делящихся на 13?


Вариант №13





Вариант №14






Вариант №15



Вариант №16



Вариант №17


Вариант №18


Вариант №19


Вариант №20


Вариант №21


Вариант №22


Вариант №23

 


Вариант №24

В1. Поезд Москва - Ижевск отправляется в 17:41, а прибывает в 10:41 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

В2. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 20 копеек. Счётчик электроэнергии 1 ноября показывал 669 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 846 киловатт-часов. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь? Ответ дайте в рублях.

В3. На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 4 по 19 апреля 2002 года. По  горизонтали указываются числа месяца, по вертикали -  цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену нефти на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).

 

В4. При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 13 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 8 тонн щебня и 57 мешков цемента. Тонна камня стоит 1700 рублей, щебень стоит 700 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 220 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешёвый вариант?

В5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 cм2 изображён треугольник ABC.Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.

 

В6. Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше 9 задач, равна 0,63. Вероятность того, что А. верно решит больше 8 задач, равна 0,75. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 9 задач.

В7. Найдите корень уравнения log_2(12 - 4x) = 5.

В8. В треугольнике ABCAC = BCAB = 15, AH – высота, BH равна 6. Найдите косинус угла BAC.

 

В9. На рисунке изображён график функции y = f'(x) -  производной функции y = f(x), определённой на интервале (-3; 8). Найдите точку минимума функции y = f(x).

 

 

В10. В правильной четырёхугольной пирамидеSABCD с вершинойS точка  O центр основания, SO = 35, SD = 37. Найдите длину отрезка BD.

 

Часть 2

В11. Найдите значение выражения  log_3{67,5} - log_3{2,5}.

В12. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 98 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

В13. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле  T(t) = T_0 + bt + at^2, где t - время в минутах,  T_0 = 1300 K, a = - 14/3,  К/мин2 b = 98 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1720 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

В14. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

В15. Найдите наибольшее значение функции y = 12ln(x + 2) - 12x + 7  на отрезке [-1,5; 0].

С1. а) Решите уравнение  log_7(2cos^2 x + 3cos x - 1 ) = 0.

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  [- {7{pi}}/2; - 2{pi}] .

С2.В правильной шестиугольной призме  ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1, стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки  A  до прямой  E_1D_1.

С3. Решите неравенство 

С4. Окружность вписана в равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 50. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

С5. Найдите все значения a, при каждом из которых система

 

имеет ровно три различных решения.

С6. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно – 8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?