Печатать книгуПечатать книгу

Профильный уровень (Задачник части С)

Сайт: Персональный сайт учителя математики и физики Васильевой Ирины Викторовны
Курс: ЕГЭ
Книга: Профильный уровень (Задачник части С)
Напечатано:: Гость
Дата: Понедельник, 22 июля 2019, 16:02

Оглавление

1. Уравнения

в этом разделе вам будет предложено 7 тренировочных работ по темам:

1. Тригонометрические уравнения

2. Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения

3. Уравнения с модулем

4. Иррациональные уравнения

5. Показательные уравнения

6. Логарифмические уравнения

7. Системы уравнений

И 1 диагностическая работа. Выберите нужный подраздел и щелкните по нему, чтобы перейти к нужной работе.


1.1. Тригонометрические уравнения (Тренировочная работа 1)

1. Решите уравнение  sin (x + {pi}/3) = 1/2 .

2. Решите уравнение  cos ({3{pi}}/2 - x) = -{sqrt{3}}/2 .

3. Решите уравнение  sin {2{pi}x}/3 = 0 .

4. Решите уравнение  cos {{pi}x}/4 = -1 .

5. Решите уравнение  tg (2x + {pi}/3) = -1 .

6. Решите уравнение  ctg ({pi} - 3x) = sqrt{3} .

7. Решите уравнение  sin 2x + cos^2 x = 1 .

8. Решите уравнение  2cos^2 x -7cos({pi}/2 + x) + 2 = 0 .

9. Решите уравнение  6tg^2 x + 4tg x = 5/{cos^2x} .

10. Решите уравнение  6sin^2 x + 5sin({pi}/2 - x) - 2 = 0 .

11. a) Решите уравнение  sqrt{2}sin^3 x - sqrt{2}sin x + cos^2 x = 0 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [- {5{pi}}/2; - {7{pi}}/2].

12. Решите уравнение  2cos^2 x + 2sin 2x = 3 .

13. Решите уравнение  7sin^2 x + 4sin x cos x - 3 cos^2 x = 0 .

14. Решите уравнение  (2cos^2 x + 9 cos x + 4) sqrt{-3tg x} = 0.

15. a) Решите уравнение  cos({pi} + x) + sin{{pi} + x}/2 = 1.

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  (3{pi}; {9{pi}}/2).

16. а)  Решите уравнение  sin2x + 2cos^2x = 1

      б) Найти корни этого уравнения на промежутке  [{pi}/4, {5{pi}}/4] .

17. а)  Решите уравнение  {2sin^2 x - sin x}/{2cos x - sqrt{3}} = 0

      б) Найти корни этого уравнения на промежутке  [{3{pi}}/2, 3{pi}] .

18. a) Решите уравнение  4 cos^2 x - 8 sin x + 1 = 0.

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [-3{pi}; -{3{pi}}/2].

19. a) Решите уравнение  cos 2x + sin^2 x = 0,25.

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [3{pi}; {9{pi}}/2].

20. a) Решите уравнение  6 sin^2 x + 5 sin ({pi}/2 - x) - 2 = 0.

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [-5{pi}; - {7{pi}}/2].

21. a) Решите уравнение  2cos^2 x = sin 2x .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [-5{pi}; - {7{pi}}/2].

22.  a) Решите уравнение  {1}/{sin^2 x} - 3/{sin x} + 2 = 0 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [-{5{pi}}/2; - {pi}].

23.  a) Решите уравнение  (2/5)^{cos x} + (5/2)^{cos x} = 2 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [-3{pi}; - {3{pi}}/2].

24.  a) Решите уравнение  9^{sin x} + 9^{- sin x} = {10}/3 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [-{7{pi}}/2; - {2{pi}}].

25.  a) Решите уравнение  3 tg^2 x - 5/{cos x} + 1 = 0 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [ - {7{pi}}/2; - 2{pi}].

26.  a) Решите уравнение  2 cos^3 x - cos^2 x + 2cos x - 1 = 0 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [2{pi};  {7{pi}}/2].

27.  a) Решите уравнение  2 cos^2 x - 5 cos (- {3{pi}}/2 - x) + 1 = 0 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [- 3{pi}; - {pi}/2].

28. a) Решите уравнение  cos({3{pi}}/2 + 2x) = cos x .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [{5{pi}}/2; 4{pi}].

29.  a) Решите уравнение  {cos 2x + sqrt{3} sin x - 1}/{tg x - sqrt{3}} = 0 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [2{pi}; {7{pi}}/2].

30.  a) Решите уравнение  2cos^2 x = sin 2x .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [-5{pi}; - {7{pi}}/2].

31.  a) Решите уравнение  2sin^2 x = sqrt{3} sin 2x .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [{3{pi}}/2; 3{pi}].

32.  a) Решите уравнение  {5 cos x + 4}/{4 tg x - 3} = 0 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [- 4{pi}; - {5{pi}}/2].

33.  a) Решите уравнение  4 cos^4 x - 4 cos^2 x + 1 = 0 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [- 2{pi}; - {pi}].

34.  a) Решите уравнение  {2 sin^2 x - sin x}/{2 cos x - sqrt{3}} = 0 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [{3{pi}}/2; 3{pi}].

35.  a) Решите уравнение  2 sin^4 x + 3 cos 2x + 1 = 0 .

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  [{pi}; - {7{pi}}/2].

1.2. Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения (Тренировочная работа 2)

1. Решите уравнение  (x + 3)(x + 4)(x + 6)(x + 7) = 4 .

2. Решите уравнение  {5x^2 + 17x + 6}/{x + 3} = x + 5 .

3. Решите уравнение  5(x - 2)^2 + 2(x - 2) = 0.

4. Решите уравнение  {5x + 8}/{x + 1} - {4x}/{x - 1} = 1.

5. Решите уравнение  {x^2 - x - 2}/{4x - 8} = 1.

6. Решите уравнение  x^2 + 1/x + x + 1/x = 0.

Для самостоятельного решения

1. Решите уравнение  {x+ 2}/{6x^2 + 8x - 8} = 1/3.

2. Решите уравнение  3/{x - 2} +2/{x + 2} = 12/{x^2 -4} .

3. Решите уравнение  {x^2 + 4x - 5}/{x^2 + 2x - 3} = 0 .

4. Решите уравнение  {cos 2x + cos x + 1}/{2sin x + sqrt{3}} = 0.

5. Решите уравнение  {x^2 - 5x + 6}/{2x^2 + 2x} = {x^2 - 5 x + 6}/{x^2 + 3x}.

6. Решите уравнение  (x^2 - 2x + 1)^2 = 1.


1.3. Уравнения с модулем (Тренировочная работа 3)

1. Решите уравнение  [x - 3] + [x - 5] = 2.

2. Решите уравнение  [3x - 2] - [2x - 3] = 0.

3. Решите уравнение  [x - 5] + [-x + 5] = 6 .

4. Решите уравнение  [x + 4] + [x - 2] = 6 .

5. Решите уравнение  [5x - 4] - [3x + 2] = 0.

6. Решите уравнение  [2x - 6] + [-2x + 6] = 8 .

7. Решите уравнение  x^2 - 4[x] - 5 = 0 .

8. Решите уравнение  [2x - 1] = [2x - 3] .

9. Решите уравнение  [x^2 - 9] = [9 - x^2] .

10. Решите уравнение  [x^3 - 4x] + [4x^2 - 1] = x^3 + 4x^2 - 4x - 1 .

11. Решите уравнение  [x^2 - 9] + [x - 2] = 5 .

12. Решите уравнение  [x + 1] sqrt{x} = 1 + x .

13. Решите уравнение  [x - 1] - [x - 2] = 1.

14. Решите уравнение  [x] = sqrt{x + 2}

15. Решите уравнение  [2x - 8] = 3x + 1.

16. Решите уравнение [[[[x + 1] + 2[-1] + 1] = 2.

17. Решите уравнение  (x - 5)^2 - [x - 5] = 30.

18. Решите уравнение  [2x - 8] - [x + 5] = 12.


1.4. Иррациональные уравнения (Тренировочная работа 4)

1. Решите уравнение  sqrt{3x - 21} = 7 - x.

2. Решите уравнение  sqrt{9 - 3x} = sqrt{x + 1} .

3. Решите уравнение  sqrt{3x + 1} sqrt{x - 1} = 2 .

4. Решите уравнение  3 sqrt{3 + 2/x} - 5sqrt{x/{3x + 2}} = 2.

5. Решите уравнение  sqrt{x^2 - 2x + 5} + sqrt{x^2 - 2x + 1} = 4.

6. Решите уравнение  (x^2 - 64) sqrt{x - 2} = 0 .

7. Решите уравнение  sqrt{1 - sin^2 x} = 2sin^2 x - 1.

8. Решите уравнение  cos^2 x - 2 =sqrt{1 - sin^2 x}.

9. Решите уравнение  (sqrt{5 - x} - 4)(sqrt{7 - x} - 2) = 0.

10. Решите уравнение  (2x - 5)sqrt{2x^2 - 9x + 4} + 10 = 4x .

11. Решите уравнение  sqrt{(sqrt{x + 3} + 2)^2} + sqrt{(sqrt{x + 3} + 2)^2 - 7} = 3 .

12. Решите уравнение  {sqrt{4x^2 + 14x - 98}}/{8x + 2} = {sqrt{4x^2 + 14x - 98}}/{2x - 7} .

13. Решите уравнение  sqrt{3 - x} + 4/{sqrt{3 - x} + 3} = 2.


1.5. Показательные уравнения (Тренировочная работа 5)

1. Решите уравнение 3^{x^2 - {5x}/3} = sqrt{9} .

2. Решите уравнение  4^{x^2 - 6x + 8} = 1 .

3. Решите уравнение  (2,5)^{x + 1} = 39 1/{16}.

4. Решите уравнение  (3/2)^{x - 6} - (32/243)^x = 0 .

5. Решите уравнение  3^{{2x - 3}/3} = 3.

6. Решите уравнение  4^{x - 7} = 5^{x - 7} .

7. Решите уравнение 2^x 5^x = 0,1(10^{x - 3})^3 .

8. Решите уравнение  3^{x + 3} + 3^x = 252 .

9. Решите уравнение  5^{x + 1} + 20*5^{-x} = 29 .

10. Решите уравнение  2^{2 - sqrt{x}} + 8*2^{sqrt{x}} = 33 .

11. Решите уравнение  64*9^x + 12^{x + 1} - 27*16^x = 0 .

12. Решите уравнение  {9^{sin x} - 3^{sqrt{3}}}/{sqrt{-2tg x}} = 0 .

13. Решите уравнение  4^{2x} - 3*4^x - 4 = 0.

14. Решите уравнение  2^{2x} - 14*2^x - 32 = 0.

15. Решите уравнение  3^{2x} - 2*3^x - 3 = 0.

16. Решите уравнение  {1/16}^{x} - 2*(1/4)^x + 1 = 0.

17. Решите уравнение  5^{2x - 1} + 5^{x + 1} = 250.

18. Решите уравнение  3*2^{x + 3} - 2^{x + 4} = 4.

19. Решите уравнение  5^{2x} + 5^{ - 2x} = 2.

20. Решите уравнение  6^{2x} + 6^{ - 2x} = 2.

21. Решите уравнение  2*4^{x} - 3*10^{x} = 5*25^x.

22. Решите уравнение  3^{x^2 - 3x} = 27^{x^2 - 3x} .

23. Решите уравнение  17^{x^2 - 9} = 29^{x^2 - 9} .

24. Решите уравнение  7 * 9^{x^2 - 3x + 1} + 5 * 6^{x^2 - 3x + 1} - 48 * 4^{x^2 -3x} = 0. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 2].

25. Решите уравнение  15^{cos x} = 3^{cos x} * 5^{sin x}. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку  [5{pi}; {13{pi}}/2].

26. Решите уравнение  (16^{sin x})^{cos x} = 4^{sqrt{3}sin x}. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку  [3{pi}; {9{pi}}/2].


1.6. Логарифмические уравнения (Тренировочная работа 6)

1. Решите уравнение log_3{( - x)} = -2 .

2. Решите уравнение  3^{log_3(x - 1)} = log_2{32} .

3. Решите уравнение 1/2 log_{log_2{x}}{9} = 1 .

4. Решите уравнение log_1/16{x} = -0,75 .

5. Решите уравнение 9^{1/{log_4{x}}} = 3 .

6. Решите уравнение log_7(x - 3)^2 = 0 .

7. Решите уравнение log_3(x - 2)^2 = 4 .

8. Решите уравнение log_2{x} - log_2{17} = log_2{13} - log_2(30 - x) .

9. Решите уравнение log_8(x + 5) - log_8(x - 2) = 2 - log_2{32} .

10. Решите уравнение  3* 3^{lg x} + x^{lg 3} = 36 .

11. Решите уравнение  lg (8x + 5) - lg (x - 1,5) = 1 .

12. Решите уравнение log_2(x^2 - 13x + 44) = 3 .

13. Решите уравнение  log^2_3 x - 2log_3{x} - 3 = 0 .

14. Решите уравнение  log_{3 - x}{25} = 2 .

15. Решите уравнение  log_{x - 7}{64} = 2 .

16. Решите уравнение  log^2_3{x} - 21log_3{x} - 3 = 0 .

17. Решите уравнение  3log_5{2} +2 - x = log_5{(3^x - 5^{2 - x})} .

18. Решите уравнение  log_3{x} + log_{sqrt{3}} + log_{1/3}{x} = 6 .

19. Решите уравнение  log_3{log_4{log^2_3{(x - 3)}}} = 0.

20. Решите уравнение  2log_x{25} - 3log_25{x} = 1 .

21. Решите уравнение  {log_4{(2x^2 + x)}}/{log_5(2 - 2x)} = 0 .

22. Решите уравнение  log_{ - 2x}(2x^2 - x - 1) = 1 .

23. Решите уравнение  (2sin^2x - 7sin x + 3)log_14{( - cos x)} = 0 .

24. Решите уравнение  {log^2 _2(x - 5) + 1/2 log_2(x - 5)^2 - 20}/{log_x(x - 6)} = 0.


1.7. Системы уравнений (Тренировочная работа 7)

Системы уравнений

1. Решите систему уравнений

2. Решите систему уравнений

 

3. Решите систему уравнений

 

4. Решите систему уравнений

 

5. Решите систему уравнений

 

6. Решите систему уравнений


1.8. Диагностическая работа по С1

Открыть в новой вкладке документ форама PDF



2. Стереометрия

в этом разделе вам будет предложено 10 тренировочных работ по темам:

1. Расстояние между двумя точками

2. Расстояние от точки до прямой

3. Расстояние от точки до плоскости

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми

5. Угол между двумя прямыми

6. Угол между плоскостями

7. Площадь сечения многогранника

8. Площадь поверхности многогранника

9. Площадь сечения многогранника

10. Объем многогранника

И 1 диагностическая работа. Выберите нужный подраздел и щелкните по нему, чтобы перейти к нужной работе.


2.1. Расстояние между двумя точками (Тренировочная работа 1)

1. В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 на диагоналях граней  AD_1  и  D_1B_1 взяты точки Е и F так, что  D_1E = 1/3 AD_1, D_1F = 2/3 D_1B_1 . Найти длину отрезка  EF .

2. В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 точки  E и K– середины ребер  AA_1  и CD соответственно, а точка M  расположена на диагонали  B_1D_1 так, что  B_1M = 2MD_1. Найти расстояние между точками Q и  L, где Q - середина отрезка EM, а L – точка отрезка MK такая, что ML = 2LK.

3. В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 на диагоналях граней AD_1 и  D_1B_1 взяты точки  E и  F так, что  D_1E = 1/3 AD_1, D_1F = 2/3 D_1B_1. Найдите длину отрезка  EF.  


2.2. Расстояние от точки до прямой (Тренировочная работа 2)

1.  В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 на диагоналях граней  AD_1  и  D_1B_1 взяты точки Е и F так, что  D_1E = 1/3 AD_1, D_1F = 2/3 D_1B_1 . Найдите расстояние от точки  D_1 до прямой  EF

2. В правильной шестиугольной призме   ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки  A до прямой  BC_1.  

3. В тетраэдре  ABCD, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки   A до прямой, проходящей через точку   B  и середину   Eребра   CD

4. В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите расстояние от точки   D до прямой   A_1C

5.  В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите расстояние от точки   D_1 до прямой   PQ, где    P и   Q - середины соотвественно ребер   A_1B_1 и   BC

6.В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S, все рёбра ко­то­рой равны 4, точка N — се­ре­ди­на ребра AC, точка O центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, точка P делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая NP пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BS.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой NP.


2.3. Расстояние от точки до плоскости (Тренировочная работа 3)

1.  В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите расстояние от точки   C_1 до плоскости   AB_1C.  

2.  В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите расстояние от точки   D до плоскости   AB_1C.   

3. В правильной шестиугольной призме  ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки  A до плоскости   A_1B_1C.

4.  В правильной шестиугольной пирамиде  MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 4, найдите расстояние от середины ребра  BC до плоскости грани  EMD.

5.  В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите расстояние от точки   A_1 до плоскости   BDC_1

6. Ребро куба   ABCDA_1B_1C_1D_1 равно 1. Найдите расстояние от точки    C до плоскости   BDC_1.

7.  В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите расстояние от точки   D_1 до плоскости   AB_1C.    

8.На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с реб­ром 8 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP = 7, а B1Q = 3. Плос­кость A1PQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC1 в точке М.

а) До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC1.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С1 до плос­ко­сти A1PQ.

 

9.На рёбрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с реб­ром 12 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP = 4, а B1Q = 3. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC1 в точке М.

а) До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC1.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти APQ.

 

10.В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SAABBC взяты точки PQR со­от­вет­ств­енно так, что PA = AQ = RC = 2.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость PQR пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SD.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D до плос­ко­сти PQR.


2.4. Расстояние между скрещивающимися прямыми (Тренировочная работа 4)

1. В правильной четырехугольной пирамиде  SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми  BD и SA.

2. В единичном кубе  ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите расстояние между диагональю куба  BD_1 и диагональю грани  AB_1.

3. В правильной шестиугольной призме  ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми  AB_1 и  BC_1.

 


2.5. Угол между двумя прямыми (Тренировочная работа 5)

1. В правильной треугольной призме  ABCA_1B_1C_1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми  AC_1 и  B_1C.

2. В правильной шестиугольной пирамиде  MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между  MB и  AD.

3. В правильной шестиугольной призме  ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми  AB_1 и  BF_1.


2.6. Угол между прямой и плоскостью (Тренировочная работа 6)

1. В правильной треугольной призме  ABCA_1B_1C_1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми  AB_1 и плоскостью  AA_1C_1C.

2. В правильной четырехугольной пирамиде  MABCD, все ребра которой равны 1, точка  E - середина ребра  MC. Найдите синус угла между прямой  DE и плоскостью  AMB.

3. В правильной шестиугольной пирамиде  MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 4, найдите синус угла между прямой  BC и плоскостью  EMD.

4. В правильной треугольной пирамиде  MABC с основанием  ABC известны ребра  AB = 7sqrt{3} MC = 25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер  AM и  BC.


2.7. Угол между плоскостями (Тренировочная работа 7)

1. В правильной четырехугольной пирамиде  SABCD, все ребра которой равны 1, найдите двугранный угол между плоскостью основания и боковой гранью.

2. Найдите угол между плоскостями  2x + 3y + 6z - 5 = 0 и  4x + 4y + 2z - 7 = 0.

3. В основании пирамиды  MABCD  лежит прямоугольник с отношением сторон AB/AD = 1/2. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом, равным 60° . Точка R – середина ребра MC. Найти угол между плоскостями MAC и ADR.

4. В правильной шестиугольной призме  ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти угол между плоскостями BA_1D_1 и AA_1E.


2.8. Площадь сечения многогранника (Тренировочная работа 8)

1. Найдите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды ABCDE, проходящей через AB и точку K  – середину ребра EC , если все ребра пирамиды равны 4.

2. В основании прямой призмы  ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный треугольник ABC, у которого основание BC равно 3 . Боковая поверхность призмы через  CB_1 параллельно высоте основания AD, если известно, что расстояние от точки A до плоскости сечения равно 5/6.


2.9. Площадь поверхности многогранника (Тренировочная работа 9)

1. Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 см, 10 см и 14 см. Каждый двугранный угол при ее основании равен 30°. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

2.10. Объем многогранника (Тренировочная работа 10)

1. Основание пирамиды  ABCD – равнобедренный треугольник  ABC с основанием  AB = 12 и боковой стороной 10. Найти объем пирамиды, если все боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы в 45° .

2. Основание пирамиды – треугольник, две стороны которого равны 1 и 2, а угол между ними равен 60° . Каждое боковое ребро равно sqrt{13} . Найти объем пирамиды.


2.11. Диагностическая работа по С2

Открыть в новой вкладке документ форама PDF



3. Неравенства и системы неравенств

в этом разделе вам будет предложено 6 тренировочных работ по темам:

1. Линейные, квадратные и дробно-рациональные неравенства

2. Иррациональные неравенства

3. Неравенства с модулем

4. Показательные неравенства

5. Логарифмические неравенства

6. Системы неравенств

И 1 диагностическая работа. Выберите нужный подраздел и щелкните по нему, чтобы перейти к нужной работе.



3.1. Линейные, квадратные и дробно-рациональные неравенства (Тренировочная работа 1)

1. Решите неравенство  (x - 4)^2(x - sqrt{5})(x - 2 6/{25}) {le} 0 .

2. Решите неравенство  (2x^2 - 5x + 3)(3 - x^3) < 0

3. Решите неравенство  {x^2 - 8x + 15}/{x - 5} {ge} 0

4. Решите неравенство  {-3x^2 + 2x - 13}/{x^2 - 7x + 10} > 0 .

5. Решите неравенство  {-20}/{x^2 - 8x - 9} > 0 .

6. Решите неравенство {15}/{4 + 3x - x^2} > 1

7. Решите неравенство  1/{2 - x} < 3/{x - 3}.

8. Решите неравенство x/{x^2 - 1} {ge} 0.

9. Решите неравенство {x + 6}/x^2 > 1.

10. Решите неравенство  1/{x + 2} < 3/{x - 3}.

11. Решите неравенство  1/{x^2 - 5x + 6} {le} 1/2.

12. Решите неравенство  x^4 + x^2 - 12 {le} 0.

13. Решите неравенство  3x^6 + 7x^3 - 6 > 0.

14. Решите неравенство  {(2 - (x + 1)^2)(x - 4)^2}/{x(x^2 - x - 6)} {ge} 0.  

15. Решите неравенство  12/x^2 + 7/x + 1 < 0.

16. Решите неравенство  (x - 1)^4 - 15(x - 1)^2 - 16 > 0.

17. Решите неравенство  {(x + 1)x^2}/{5x - x^2} {ge} 0.

18. Решите неравенство  9/(x + 2)^2 {ge} 1 .

19. Решите неравенство  {x^2 + 3x + 24}/{x^2 + 3x + 3} < 4.

20. Решите неравенство  1/{x^2 - 8x - 9} {ge} 1/{3x^2 + 5x + 2}.

21. Решите неравенство  (x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x - 3) {ge} 5.

22. Решите неравенство  1/{x + 9} + 1/{x + 1} {ge} 1/x.

23. Решите неравенство  7/{x^2 + 5x + 6} - 9/{x + 3} + 1 {le} 0.

24. Решите неравенство  {1/x - 1}/{1 - 1/{x - 6}} {ge} 0.

25. Решите неравенство  (x/2 + 5/8 - {15}/{88 + 32x})^2 {ge} 1.


3.2. Иррациональные неравенства (Тренировочная работа 2)

1. Решите неравенство  (x + 1) {le} 2(x + 1)sqrt{2x + 3} .

2. Решите неравенство  sqrt{x + 18} < 2 - x

3. Решите неравенство  sqrt{2x + 3} - sqrt{x -2} > 2.

4. Решите неравенство  1/{sqrt{8 - x}} - 1/{sqrt{2x +1}} > 1/{sqrt{8 + 15x - 2x^2}} .

5. Решите неравенство  {sqrt{2x^2 - 5x + 2}}/{2x^2 + 6x}{le} 0

6. Решите неравенство  sqrt{2x - x^2} < 5 - x .

7. Решите неравенство  sqrt{x - 2} > 4 - x.

8. Решите неравенство  sqrt{x^2 + 3x - 18} > 2x + 3 .

9. Решите неравенство  1/{sqrt{x + 18}} > 1/{2 - x}.

10. Решите неравенство {sqrt{3 + 2x}}/{2x^2 - x - 1} > 0.

11. Решите неравенство {3x^2 - 10x + 3}/{sqrt{4 - x^2} + 5} > 0.

12. Решите неравенство  sqrt{x + 2} > sqrt{8 - x^2}.

13. Решите неравенство  sqrt{x + 5} < 1 - x.

14. Решите неравенство  sqrt{x + 3} < sqrt{6 - 2x}.

15. Решите неравенство  sqrt{5x^2 - 6x + 1} > 2x - 1.

16. Решите неравенство  x sqrt{x^2 - x - 2} {ge} 0.

17. Решите неравенство  sqrt{{x - 3}/{3 - 2x}} > - 1.

18. Решите неравенство  sqrt{3x - 4} > sqrt{4 - x}.

19. Решите неравенство  sqrt{x^2 - 2x - 3} < 1.

20. Решите неравенство  0 < x + sqrt{x + 2} .

21. Решите неравенство  sqrt{{x - 1}/{x + 1}} - sqrt{{x + 1}/{x - 1}} < 3/2.

22. Решите неравенство  sqrt{x + 1} {le} sqrt{sqrt{5 - x}}.

23. Решите неравенство  [x + 3] - sqrt{x^2 -2x - 3} {ge} 0.

24. Решите неравенство  {sqrt{x + 1} - sqrt{2x + 1}}/{sqrt{7 - 2x}} > 0.

25. Решите неравенство  {(x - 1) sqrt{x - 1} + 1}/{x - 2} <sqrt{x - 2} + 1/2.

26. Решите неравенство  {x - 9}/{sqrt{x} - 3} {le} x sqrt{x} + 27.

27. Решите неравенство  {sqrt{2x^2 - 3x - 5}}/{sqrt{x - 2}} < sqrt{x +1}.

28. Решите неравенство  {sqrt{x + 2} - [x - 2]}/{sqrt{8 - x} - [x - 2]} {ge} 1.

29. Решите неравенство  (sqrt{3x + 5} - sqrt{x + 3})([x - 4] - x^2 - 2) < 0.

30. Решите неравенство  sqrt{x + 1/x^2} + sqrt{x - 1/x^2} > 2/x.


3.3. Неравенства с модулем (Тренировочная работа 3)

Простейшие неравенства с модулем

1. Решите неравенство  [x + 2] > 16 .

2. Решите неравенство  x^2 < 25 .

3. Решите неравенство  x^2 > 0 .

4. Решите неравенство  (x - 4)^2 {le} 16 .

5. Решите неравенство  (x + 7)^2 {ge} 0 .

6. Решите неравенство  [5 - x] < - 5 .

7. Решите неравенство  [x^2 - 4] > 5 .

Неравенства с модулем

1. Решите неравенство 1/{[x - 9]} {le} {x - 3}/{4x - 11}.  

2. Решите неравенство [[2^x + x - 2] -1] > 2^x -x - 1

3. Решите неравенство [x - 1] + [x - 2] > 3 + x

4. Решите неравенство [x - 2x^2] > 2x^2 - x

5. Решите неравенство x([x^2 - 1] - 2[x - 1]) < 0

6. Решите неравенство  [x^2 - 2x - 3] {le} 3x - 3.

7. Решите неравенство [3x - 2] - [2x - 1] > 5.

8. Решите неравенство  {[x - 3]}/{x^2 - 5x + 6} {ge} 2.

9. Решите неравенство {[x + 2] - [x]}/sqrt{4 - x^3} > 0.

10. Решите неравенство [{2x + 3}/{3x - 2}] < 3.

11. Решите неравенство  [x^2 + 5x] < 6 .

12. Решите неравенство  [x + 2] {le} [4 - x].

13. Решите неравенство  [x - 1] - [x + 4] > 7.


3.4. Показательные неравенства (Тренировочная работа 4)

1. Решите неравенство  (0,2)^{{2x-1}/x} > 5 .

2. Решите неравенство  (0,25)^{4x^2+2x-2} < 4^{2x+3} .

3. Решите неравенство  2^{-x+2} - 2^{-x+1} + 2^{-x-1} - 2^ {-x-2} {le} 9 .

4. Решите неравенство  sqrt{16^{{2x+ 2}/x}} < sqrt{4^{3x - 7}} .

5. Решите неравенство  2^{x + 1} + 2^{-x} - 3 > 0 .

6. Решите неравенство  5^{1 - 2x} > 5^ {-x} + 4 .

7. Решите неравенство  25^{x} - 5^{x +1} {ge} 50 .

8. Решите неравенство  4^{-x-0,5} -7 * 2^{-x-1} - 4 < 0 .

9. Решите неравенство  2^{x- 0,5} + {sqrt{2}}/2 > 1 + 2^{-x} .

10. Решите неравенство  {4^x + 2x - 4}/{x - 1} {le} 2 .

11. Решите неравенство  4^{3x^2 - x} - 8 < 2 * 8^{x^2 - x/3} .

12. Решите неравенство {2^{x - 1} - 1}/{2^{x +1} + 1} < 1/2 .

13. Решите неравенство  {2^{1 + x} - 2^{-x} + 1}/{2^{-x} - 1} {le} 0 .

14. Решите неравенство  2^{2x} 2 2 * 25^x - 10^x > 0 .

15. Решите неравенство  2 * 4^x - 25 * 5^{2x} - 5 * 10^x > 0 .

16. Решите неравенство  9 * 4^{1/x} + 5 * 6^{1/x} < 4 * 9^{1/x} .

17. Решите неравенство  7^18 * (1/7)^{2x} * (1/7)^{5sqrt{x}} > 1 .

18. Решите неравенство  5^33 * (1/5)^{3x} * (1/5)^{2sqrt{x}} > 1 .

19. Решите неравенство  7^18 * (1/7)^{2x} * (1/7)^{5sqrt{x}} > 1 .

20. Решите неравенство  {3^{[x^2 - 2x - 1]} - 9}/{x} {ge} 0 .

21. Решите неравенство  {3 - 0,25^x}/{2 - 2^{-x}} {ge} 1,5 .

22. Решите неравенство  4^{x + 2} - 257 * 2^x + 16 {le} 0 .

23. Решите неравенство {2^{2[x - 3]} + 4}/5 < 2^{[x - 3]} .

24. Решите неравенство {5^{2[x + 1]} + 5}/6 < 5^{[x + 1]} .

25. Решите неравенство  3^{2x} - 2^{x + 3/2} {ge} 2^{x + 5/2} + 9^{x - 1} .

26. Решите неравенство  5^{x + 2/3} - 8^{x} {ge} 2^x * 4^{x - 1} + 5^{x - 1/3} .

27. Решите неравенство  {x^4 - 16}/{4 * 2^{8 - x^2} - 8^x} {le} 0.

28. Решите неравенство  (x - 5)^{x^2 - 11x + 28} {ge} 1.

29. Решите неравенство  [3^{x^2 - 2x} - 18]{<} 9.

30. Решите неравенство  81^x - 28 * 9^{x - 0,5} {ge} 0.

31. Решите неравенство   9^x - 2*6^x - 3*4^x {le} 0.

32. Решите неравенство  9 * 4^{1/x} + 5 * 6^{1/x} < 4 * 9^{1/x}.

33. Решите неравенство  {320 - 4^{-x}}/{64 - 2^{-x}} {ge} 5.

34. Решите неравенство  9^{-x} - 3^{4 - x} {le} 82.

35. Решите неравенство  3^x + 54/{3^x} {ge} 29.

36. Решите неравенство  sqrt{2*9^x - 7*3^{x+1} + 10} {ge} 3^x - 10.

37. Решите неравенство  3^x + 270/{3^x} {ge} 37.

38. Решите неравенство  {5 - 4^{-x-1}}/{1 - 2^{-x-4}} {ge} 5 .

39. Решите неравенство  {25*0,5^{x -1} - 2^{x - 2}}/{2^{x + 2} - 4^x} {ge} 0,5^{x + 2}.

40. Решите неравенство  45^x - 3*5^x +0,6 < {9^x}/5.

41. Решите неравенство  54*3^{x^2+2x-1} - 3^{[-15x+20]} {ge} 3^{x^2 +2x +2}.

42. Решите неравенство  2/{5^x - 1} + {5^x -2}/{5^x - 3} {ge} 2.


3.5. Логарифмические неравенства (Тренировочная работа 5)

1. Решите неравенство  1/2 log_{4 + x}(x^2 + 2x + 1) + log_{-x - 1}( - x^2 - 5x - 4) {le} 3 .

2. Решите неравенство  log_{x - 2}log_3{{x + 3}/{x - 3}} > log_{1/{x - 2}}log_{1/3}{{x - 3}/{x + 3}}.

3. Решите неравенство log_{x + 6}log_{1/2}{{x - 5}/{x + 5}} < log_{1/{x + 6}}log_2{{x + 5}/{x - 5}}.

4. Решите неравенство  3^{log^2 _3{x}} + x^{log_3{x}} < 6 .

5. Решите неравенство  7^{log^2 _7{x}} + x^{log_7{x}} < 14 .

6. Решите неравенство  {log_{3^{x - 1}}27}/{log_{3^{x - 1}}( - 27x)} {le} 1/{log_3{log_{1/3}(3x)}} .

7. Решите неравенство  {log_{2^{x + 8}}4}/{log_{2^{x + 8}}( - 4x)} {le} 1/{log_2{log_{1/2}(2x)}} .

8. Решите неравенство  {log_{3^{x - 1}}27}/{log_{3^{x - 1}}( - 27x)} {le} 1/{log_3{log_{1/3}(3x)}} .

9. Решите неравенство  log_3{log_4{{4x - 1}/{x + 1}}} {<} log_{1/3}{log_{1/4}{{x + 1}/{4x - 1}}} .

10. Решите неравенство  {log_5^{x - 7}{(x + 20)}}/{log_5^{x - 7}{x^2}}{<} 1.

11. Решите неравенство  3^{log_x{{8 - 12x}/{x - 6}}} {>} 9 .

12. Решите неравенство  log_{log_x{2x}}{(5x - 2)} {ge} 0.

13. Решите неравенство  4log_x{4} + 3log_{4/x}4 + 4log_{16x}{4} {le} 0.

14. Решите неравенство  {log_5{(x^2 - 2x)}}/{log_5{x^4}}{ge} 0,25.

15. Решите неравенство  log_2{((7^{-x^2} - 3)(7^{-x^2 + 16} - 1))} + log_2{7^{{-x^2 - 3}}/{7^{-x^2 + 16} -1}} {>} log_2{(7^{7 - x^2} - 2)^2} .

16. Решите неравенство  (1/3)^{log_3{log_{0,6}{(x^2 - 0,4)}}} {<} 1.

17. Решите неравенство  log_x{3} + 2log_{3x}{3} - 6log_{9x}{3} {le} 0.

18. Решите неравенство  {14^{1 + log_7{x}}}/{7log^2_17(17x)log_{1/7}(49x)}{le}{(4*2^{1 + log_7{x}})^{1 + log_7{x}}}/{4log^2_17(17x)log_{1/7}(49x)} .

19. Решите неравенство  {14^x}/{7(log_7(x - 3)^2)^4 log_6(x + 2)} {ge} {(4*2^x)^x}/{4(log_7(x - 3)^2)^4 log_6(x + 2)}.

20. Решите неравенство:  {1 + log^2_3(8 - x)}/{log_4(x + 1) - log_2(2x -8)} {le} 0 .

21. Решите неравенство  (x - 3) log_{x + 4}(x + 2) log_5(x + 4)^2 {le} 0 .


3.6. Системы неравенств (Тренировочная работа 6)

1. Решите неравенство

2. Решите неравенства

3. Решите неравенства

 4. Решите неравенства

а) 

б) 

в) 

г) 

5. Решите неравенство

 

6. Решите систему неравенств

 125^{2/x} {ge} 5^{{2x + 3}/x} - 24,

 log_{x^2}81 + log_{3x}27{le} 2.


3.7. Диагностическая работа по С3

Открыть в новой вкладке документ форама PDF



4. Планиметрия

в этом разделе вам будет предложено 5 тренировочных работ по темам:

1. Взаимное расположение линейных фигур

2. Взаимное расположение прямолинейных фигур

3. Взаимное расположение окружностей

4. Взаимное расположение элементов фигуры

5. Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств

И 1 диагностическая работа. Выберите нужный подраздел и щелкните по нему, чтобы перейти к нужной работе.


4.1. Взаимное расположение линейных фигур (Тренировочная работа 1)

1. На прямой взяты точки A, B и C так, что расстояние между точками A и B равно 5, а между B и C равно 3. Найдите расстояние между точками A и C .

Ответ: 2 или 8.

2. На прямой взяты точки A, B и C так, что точка B расположена правее точки A и AB : BC = 3. Найдите отношение AC : AB.

Ответ: 4/3 или 2/3.

3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и делит ее в отношении 1: 2. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCМ равна 60.

Ответ: 180 или 90.

4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E , делящая эту сторону прямой в отношении 2 : 3. Отрезок DE пересекает диагональ AC в точке F. Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AFD ?

Ответ: 5/14 или 5/16.

5. В треугольнике ABC AB = 12 , BC = 5, CA = 10 . Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 4 : 9 . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB , касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF .

Ответ: 7/2 и 51/2.

6. В прямоугольнике ABCD AB = 2 , BC = √3. Точка Е на прямой АВ выбрана так, что угол AED равен углу DEC . Найдите АЕ.

Ответ: 1 или 3.

7. Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках М и Т соответственно и образующая с прямой АВ угол α, tg= 3. Найдите площадь треугольника ВМТ, если сторона квадрата ABCD равна 4.

Ответ: 2 или 10.

8. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов А и D делят сторону BC на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его
периметр равен 40.

Ответ: 5; 15 или 8; 12.

9. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла. 

Ответ: 1 или 6.

10. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44 , AD = 100 , AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC , касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK .

Ответ: 5 или 30.

11. Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, угол A = 60. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника ABOD.

Ответ:  {5sqrt{3}}/4, {13sqrt{3}}/6 .

12. Около треугольника ABC описана окружность с центром О. Найдите величину угла ACB , если угол ОСB равен 10°, а угол АОС равен 40°.

Ответ: 60 °  или 80 ° .

13. Трапеция с основаниями  14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции. 

Ответ: 39 или 9.


4.2. Взаимное расположение прямолинейных фигур (Тренировочная работа 2)

14. Дан равнобедренный треугольник АВС, AB = BC = 10 и AC = 12 . Параллельно боковым сторонам треугольника на одинаковом расстоянии от них проведены прямые. Найти это расстояние, если площадь треугольника, образованного этими прямыми и основанием, лежащим на прямой АС, равна 12.

Ответ: 2,4 или 7,2.

15. Два ромба ABCD и AMHK, имеющие общую вершину А, расположены так, что стороны АВ и АМ образуют угол в 30°. Известно, что углы при вершине А обоих ромбов равны 60°, площадь пересечения ромбов равна  5 sqrt{3}  , а площадь их объединения равна 23 sqrt{3}. Найти площадь каждого из ромбов.

Ответ:S_{ABCD} = 16 sqrt{3}S_{AMHK} = 12 sqrt{3}или S_{ABCD} = 12 sqrt{3}  S_{AMHK} = 16 sqrt{3}


4.3. Взаимное расположение окружностей (Тренировочная работа 3)

16. Прямая касается окружностей радиусов R и r. Известно, что расстояние между их центрами равно а, причем R > r и a > r + R. Найдите расстояние между точками касания.

17. Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке В. Через точку В проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке А, а большую - в точке С. Известно, что  AC = 3sqrt{2}. Найдите ВС.

18. Две окружности радиусами 5 и 15 соответственно, касаются в точке А. Через точку В, лежащую на первой окружности, проведена прямая, касающаяся второй окружности, в точке М. Найдите ВМ, если известно, что АВ = 3.

19. Дана окружность радиуса 2 с центром О. Хорда АВ пересекает радиус ОС в точке D, причем  угол CDA равен 120°. Найдите радиус окружности, вписанной в угол ADC и касающейся дуги АС, если  OD = sqrt{3}.

20. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 8 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.

21. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей, если AB = 16 .

22. Окружности с центрами  O_1 и O_2 пересекаются в точках А и В. Известно, что угол  AO_1B = 90^o, AO_2B = 60^o, O_1O_2 = 1. Найдите радиусы окружностей.

23. Окружности радиусов 20 и 3 касаются внутренним образом. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке M . Найдите длины отрезков AM и MB , если AB = 32.

24. В окружности, радиус которой равен 15, проведена хорда AB = 24. Точка С лежит на хорде АВ так, что AC : BC = 1: 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С.

25. На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, D и касающейся прямой ВС.

26. Точка О – центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса ОМ взята точка А. Через точку А проведена прямая, касающаяся окружности в точке К. Известно, что угол OAK равен 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в угол ОАК и касающейся данной окружности внешним образом.


4.4. Взаимное расположение элементов фигуры (Тренировочная работа 4)

27. В параллелограмме ABCD один из углов равен 60°. Точки E и F являются серединами смежных сторон, образующих острый угол. Площадь треугольника, отсекаемого прямой EF от параллелограмма ABCD, равна S . Найдите площадь треугольника, вершинами которого служат точки E, F и C.

28. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.

29. Площадь треугольника ABC равна 8. MN – средняя линия. Найдите площадь треугольника CMN .

30. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4 . Найдите АС.

31. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что CH = AB . Найдите угол АСВ.

32. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок СН равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.

33. Точки A_1, B_1, C_1 – основания высот треугольника ABC. Углы треугольника A_1B_1C_1 равны 90°, 60° и 30°. Найдите углы треугольника ABC.

34. Основания трапеции равны 2 и 3. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2 : 3 . Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.


4.5. Диагностическая работа по С4

Открыть в новой вкладке документ форама PDF



5. Задачи практического содержания

1. На бирже ценных бумаг акции одной фирмы продавались по цене 400000 рублей. После непредвиденных осложнений фирма вынуждена была дважды понизить цену на свои акции на один и тот же процент. В результате акции начали продавать по цене 282240 рублей. Найдите процент уценки.

2. Если положить на вклад «Молодежный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на 12% от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик собирается положить на этот вклад деньги на два года подряд и не пополнять и не снимать со счета. Сколько рублей надо положить вкладчику, чтобы через два года вложенная сумма увеличилась на 1272 рубля?

3. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?

4. В январе пакет акций стоил на 10% меньше, чем в феврале. В феврале этот же пакет акций стоил на 20% меньше, чем в марте. На сколько процентов меньше стоимость пакета акций в январе, чем в марте?

5. Торговая база закупила партию альбомов и поставила их в магазин по оптовой цене, которая на 30% больше закупочной. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с закупочной ценой, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 рубля?

6. Турист прошел весь маршрут за три дня. В первый день он прошел 30% всего пути, во второй – 60% остатка, после чего ему осталось пройти на 1 км меньше, чем он пошел в первый день. Какова длина всего маршрута?

7. Цену товара снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько всего процентов снизили первоначальную цену?

8. На сколько процентов следует за один раз понизить цену товара, чтобы первая цена была равна цене товара после двух последовательных понижений на 10%.

9. В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

10. В сберегательный банк поместили некоторую сумму денег, и через два года она возросла на 51250 рублей. Сколько денег было положено в банк, если вкладчикам выплачивалось 5% годовых?

11.31 де­каб­ря 2013 года Сер­гей взял в банке 9 930 000 руб­лей в кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Сер­гей пе­ре­во­дит в банк опре­делённую сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Какой долж­на быть сумма еже­год­но­го пла­те­жа, чтобы Сер­гей вы­пла­тил долг тремя рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми?

12.Антон взял кре­дит в банке на срок 6 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов (ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку), а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Ан­то­ном. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Общая сумма вы­плат пре­вы­си­ла сумму кре­ди­та на 63%. Най­ди­те ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку.

13.В одной стра­не в об­ра­ще­нии на­хо­ди­лось 1 000 000 дол­ла­ров, 20% из ко­то­рых были фаль­ши­вы­ми. Некая кри­ми­наль­ная струк­ту­ра стала вво­зить в стра­ну по 100000 дол­ла­ров в месяц, 10% из ко­то­рых были фаль­ши­вы­ми. В это же время дру­гая струк­ту­ра стала вы­во­зить из стра­ны 50 000 дол­ла­ров еже­ме­сяч­но, из ко­то­рых 30% ока­за­лись фаль­ши­вы­ми. Через сколь­ко ме­ся­цев со­дер­жа­ние фаль­ши­вых дол­ла­ров в стра­не со­ста­вит 5%?

14.Банк пла­ни­ру­ет вло­жить на 1 год 30% име­ю­щих­ся у него средств кли­ен­тов в акции зо­ло­то­до­бы­ва­ю­ще­го ком­би­на­та, а осталь­ные 70% — в стро­и­тель­ство тор­го­во­го ком­плек­са. В за­ви­си­мо­сти от об­сто­я­тельств пер­вый про­ект может при­не­сти банку при­быль в раз­ме­ре от 32% до 37% го­до­вых, а вто­рой про­ект — от 22 до 27% го­до­вых. В конце года банк обя­зан вер­нуть день­ги кли­ен­там и вы­пла­тить им про­цен­ты по за­ра­нее уста­нов­лен­ной став­ке, уро­вень ко­то­рой дол­жен на­хо­дить­ся в пре­де­лах от 10% до 20% го­до­вых. Опре­де­ли­те, какую наи­мень­шую и наи­боль­шую чи­стую при­быль в про­цен­тах го­до­вых от сум­мар­ных вло­же­ний в по­куп­ку акций и стро­и­тель­ство тор­го­во­го ком­плек­са может при этом по­лу­чить банк.


6. Задачи с параметром

в этом разделе вам будет предложено 7 тренировочных работ по темам:

1. Алгебраические выражения

2. Уравнения с параметром

3. Системы уравнений с параметрами

4. Неравенства с параметром

5. Функционально-графические методы решения

И 1 диагностическая работа. Выберите нужный подраздел и щелкните по нему, чтобы перейти к нужной работе.


6.1. Алгебраические выражения (Тренировочная работа 1, 2)

1. При каких значениях параметра  a  значение выражения  -21a + (3a^{1/3})^3  равно 12?

2. При каком значении параметра  a  значение выражения  {sqrt{9} * (3a)^{1/3}}/{{120}^{1/3}} равно 12?

3. Найдите все значения параметра  p , при которых выражение  log_p{4} + log_p{8}  принимает значение 2,5.

4. Найдите все целые значения параметра  p , при которых значение выражения  {7ctg{18}^0 * sin^p {378}^0}/{2cos^2 {63}^0 - 1}  принимает значение -3,5.

5. Упростите выражение  sqrt{x + 2 sqrt{x - 1}} + sqrt{x - 2 sqrt{x - 1}} и вычислите его значение при  x = 1,0001 .

6. Найдите значение выражение  {x^4 - 2x^2y^2}/{x^2y^2 + y^4}, если  y/x = 1/2 .

Тренировочная работа 2

1. При каких значениях параметра  a  значение выражения  3(a^{1/7})^5 + 12a^{5/7}  равно 30?

2. При каких значениях параметра  a  значение выражения  sqrt{sqrt{0,25c^3}} равно 2?

3. Найдите все значения параметра  p , при которых выражение  log_12{160} + log_12{p}  принимает значение 2.

4. При каком положительном значении  cosx  значение выражения  1 - 5 ctg^2x*sin^2x  принимает значение 0,2.

5. При каком наименьшем положительном целом значении параметра  a  значение выражения  sqrt{x - 2a {sqrt{x - 2}} +a^2 - 2} + sqrt{a^2 - 2 + x + 2a{sqrt{x - 2}}} является целым при  x = 10,78 .

6. Упростите выражение  {x^2}/{x^2 - y^2} + {x^2y^2 + y^4}/{x^4 - y^4}, если x/y = 2/3 .


6.2. Уравнения с параметром (Тренировочная работа 3, 4)

Линейные уравнения

1.Найдите наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния и зна­че­ния x и y, при ко­то­рых оно до­сти­га­ет­ся  

2.Найдите наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния    и зна­че­ния    и  , при ко­то­рых оно достигается

Тренировочная работа 3

1. Найдите значение параметра  a , при котором уравнение  3 - 2^{x - a} = (9 - 2^{3x - 3a})^{0,5}  имеет корень  x = 1 . Если таких значений, то в ответ укажите их сумму.

2. При каких значениях параметра  a  уравнение  x^3sqrt{x - 4} - a^3sqrt{x - 4} = 0 имеет два различных действительных корня?

3. При каком значении параметра  a  решением уравнения  log_3{(5x - 2)} + log_3{8} = log_3{a}  является число  x = 1,4 ?

4. При каком значении параметра  a  решением уравнения  cos{x/a} = sqrt{2}/2  является множество  x_1 = 3{pi} +24{pi}n, x_2 = - 3{pi} +24{pi}n, n Z?

5. Найдите все значения параметра  a , при котором уравнение  sqrt{(sin{0,5x} - a)^2} + sqrt{sin^2{0,5x} - 4 sin{0,5x} + 4} = 3 + a  имеет хотя бы один корень.

6. При каких значениях параметра  b  уравнение

 9x + b^2 - (2 - sqrt{3})b - 2sqrt{3} = b^4 x - b^2 (b + sqrt{3})

не имеет корней?

7. При каких значениях параметра  a , при каждом из которых среди корней уравнения

 ax^2 + (a + 4)x + a + 1 = 0

имеется ровно один отрицательный?

8. Найдите все такие целые  a, b , для которых один из корней уравнения  ax^2 + bx + 16 = 0  равен  1 + sqrt{5}.

9. Найдите все значения параметра  a , при каждом из которых уравнения

 (a + 1)x^2 + ([a + 2] - [a + 10])x + a = 5

имеет два различных положительных корня.

10. Найдите все значения параметра  a , при каждом из которых уравнения

 [1 - 2ax] = 1 + (1 - 2a)x + ax^2

имеет единственный корень.

11. Найдите все значения параметра  a , при каждом из которых уравнения

 ax^2 + 2(a + 1)x + a + 3 = 0

имеет два различных корня.

12. Определить количество различных решений уравнения  {x - 5}/{x^2 - b^2} = 0  с параметром  b .

13. При каких значениях параметра  a  уравнение

 {x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 3a - 2}/{x^2 - 6x + 5} = 0

имеет единственное решение?

14. Определите количество различных решений уравнения  [x + 3] = a в зависимости от параметра  a .

15. Сколько решений в зависимости от параметра  a  имеет уравнение  [x + 2] = ax + 1 ?

16. При каких значения  a  уравнение  x^2 -(4a - 2)[x] + 3a^2 - 2a = 0 имеет два различных решения?

17.  Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  x^4 + (a + 1)x^3 + (2a + 1)x^2 - (a + 1) x + 1 = 0  на промежутке  x < -1  имеет не менее двух корней.

18. При каких значения  a  уравнение  2x + 3sqrt{x} +  2a^2 - 11a = 0 имеет единственное решение?

19. При каких значения  a  уравнение  sqrt{x + 1} = x + a имеет единственное решение?

20. При каких значения  a  уравнение  4^x - (5a - 3)2^x + 4a^2 - 3a = 0 имеет единственное решение?

21. При каких значения  a  уравнение  2log^2_3{x} - [log_3{x}] + a = 0 имеет четыре различных корня?

22. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  log_5(25^x - log_5{a}) = x имеет единственное решение.  

23. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  {(x^3 - 1)(x^2 - 16)}/{lg(15a - x) - lg(x - a)} = 0 имеет единственное решение.

24. Найдите все значения параметра  a, при которых уравнение  5x^4 + 7ax + 2a^2 = 0 имеет хотя бы один целый корень.

25. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  cos(sqrt{a^2 - x^2}) = 1 имеет восемь решений.

26. Найдите все значения параметра  x , удовлетворяющие уравнению  log_{x + 2[a] + 1}([a]x + 3) = 2log_{6 - x}(5 - sqrt{7 + x}) при любом действительном значении  a .

27. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение x^2 +(a + 4)^2 = [x + a + 4] + [x - a - 4] имеет единственный корень.

28. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение 2/{x + 1} = a[x -3]на промежутке  x{ge} 0 имеет более двух корней.

Тренировочная работа 4

1. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  2x^2 + 2*3^{a + 1}x - 9 = 6x - 33*3^{a}  имеет единственное решение. (Если таких значений, то в ответ укажите их сумму.)

2. При каком наименьшем целом значении параметра  a  уравнение  x{sqrt{x - 7}} - a{sqrt{x - 7}} = 0 имеет два различных действительных корня?

3. При каком значении параметра  a  решением уравнения  lg{(3a + x - 2)} + lg{(x + 1)} = lg{72}  является число  x = 5 ?

4. При каких значениях параметра  a  уравнение

 (3a - 1)x^2 + 2ax + 3a - 2 = 0

имеет два действительных различных корня?

5. При каких значениях параметра  a  уравнение

 x^2 + x + {2a - 1}/{a + 5} = 0

не имеет решений?

6. При каких значениях параметра  a  уравнение

{x^2 - ax + 1}/{x + 3} = 0

имеет единственное решение?

7. При каких значения  a  уравнение  1999^{2x} - 4 * 1999^x  - 3a + a^2 = 0 имеет единственное решение?

8. При каких значения  a  уравнение  2a(x + 1)^2 - [x + 1] + 1 = 0 имеет четыре различных корня?

9. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение [5/x - 3] = ax - 2на промежутке  x > 0 имеет более двух корней.

10. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение 36^x - (8a + 5)6^x + 16a^2 + 20a - 14 = 0 имеет единственное решение.


6.3. Системы уравнений и неравенств с параметрами (Тренировочная работа 5)

1. Исследовать систему линейных уравнений

 (a - 2)x + 27y = 4,5,

 2x + (a + 1)y = 3.

2. Определить, при каких значениях параметра  a уравнения  x + ay = 1 и  ax + y = 2a  имеют хотя бы одно общее решение.

3. Найдите все значения параметра   a, при каждом из которых система

 y - x^2 = a,

 x - y^2 = a

имеет ровно два решения. 

4.  Найдите все значения параметра   a, при каждом из которых система

 axy + x - y +3/2 = 0,

 x + 2y + xy + 1 = 0

имеет единственное решение.

5. Найдите все значения параметра   a, при каждом из которых система

 a(x^4 + 1) = y + 2 - [x]

 x^2 + y^2 = 4

имеет единственное решение.

6. Найдите все значения параметра   a, при каждом из которых система

 x^4 - (a - 1) sqrt{a + 3}y + a^4 + 2a^3 - 9a^2 - 2a + 8 = 0

 y = sqrt{a + 3}*x^2

имеет ровно три различных решения.

7. Найдите все значения параметра   a, при каждом из которых система

 x^2 - 8x - [y] + 12 = 0

 x^2 + (y - a)(y + a) = 8(x - 2)

имеет ровно 8 решений.

8.  Найдите все значения параметра   a, при каждом из которых система

y {le} ax - x^2 - 3

x {le} ay - y^2 - 3

имеет единственное решение.

9.  Найдите все значения параметра   a, при каждом из которых система

 x^2 - y + a = 0

 x + y^2 + a = 0

имеет единственное решение.


6.4. Неравенства с параметром (Тренировочная работа 6)

1. При каких значениях параметра   a  неравенство  ax - 6 {le} 2a - 3x.

2. При каких значениях параметра   a неравенство  log_{a^2 - 2}((a^2 - 1)x^2 + 2x + 2) > 1  выполняется для любого значения  x ?

3. При каких значениях параметра   a , при каждом из которых неравенство  [{x^2 - ax - 4}/{x^2 + 2x + 2}] < 4 выполняется для всех  x.

4. Решите неравенство  {x^2 - 4x - 5}/{x - (4 - 2^{1 - a^2})} {ge} 0 для всех значений параметра  a .

5. Найдите все значения параметра  a , при каждом из которых наименьшее значение функции  f(x) = 3px + [x^2 - 10x + 21] больше 1.

6. Найдите все значения параметра  a , при каждом из которых наименьшее значение функции  f(x) = 4x^2 + 4ax + a^2 - 2a + 2 на множестве  1 {le} [x] {le} 3  не меньше 6.

7. Найдите все значения параметра  a , при каждом из которых система

 (x - a)(ax - 2a - 3) {ge} 0; ax > 4  не имеет решений.

8. При каких значениях параметра   a , при каждом из которых неравенство  x^2 + 4x + 6a[x + 2] + 9a^2 {le} 0 имеет не более одного решения.


6.5. Функционально-графические методы решения (Тренировочная работа 7)

1. Определите количество различных корней уравнения  [x^2 - 4x + 3] = 3a - 2a^2 в зависимости от параметра   a .

2. При всех   a  решите уравнение  x - sqrt{a - x^2} = 1

3. Найдите все значения параметра   a , при каждом из которых уравнение  (a + 6x - x^2 - 5)(a + 1 - x - 3) = 0 имеет ровно три различных корня.

4.  Найдите все значения параметра   a , при каждом из которых уравнение  [x^2 - 10x + 21] + [x^2 - 10x + 9] = a  имеет ровно три различных корня.

5.  Найдите все значения параметра   a , при каждом из которых уравнение [[[x - 3] + 2] - 3] = 1 + [x - a]  имеет единственное решение.

6. Определите количество различных корней уравнения  [x + 2] = ax + 1 в зависимости от параметра   a .

7. Определите количество различных корней уравнения  [x - 4] = ax + 2 в зависимости от параметра   a .

8. Найдите все значения параметра   a , при каждом из которых уравнение  [x^2 - 5x + 6] = ax  имеет ровно три различных корня.

9. Найдите все значения параметра   a , при каждом из которых уравнение  [x^2 - 6x + 8] + [x^2 - 6x + 5] = a  имеет ровно три различных корня.

10. Найдите все значения параметра   a , при каждом из которых функция  f(x) = x^2 - 3[x - a^2] - 5x  имеет более двух точек экстремума.

11. Найдите все значения параметра   a , при каждом из которых неравенства  sqrt{(x - 2a)^2 + (y - a)^2} {le} {[a]}/{6sqrt{5}} и x - 2y {ge} 1 имеет решения.

12. Найдите все значения параметра   a , при каждом из которых неравенства  x^2 + y^2 - 1 {le} -a^2 + 2a(x - y + 1) и x^2 + y^2 - 1 {le} 3a^2 - 2a(2x - 3y + 4) имеет 1 решение.

13. При каких значениях параметра  a  система

 [y] = x^2 - 4; x^2 + y^2 = a имеет ровно два решения?

14. При каких значениях параметра  a  система

 x + y = 4; x^2 + y^2 = a имеет решение?


7. Олимпиадные задачи

в этом разделе вам будет предложено 8 подготовительных задач и 1 диагностическая работа. Выберите нужный подраздел и щелкните по нему, чтобы перейти к нужной работе.

7.1. Подготовительные задачи

Задача 1

Докажите, что любое целое число представимо в виде:

   а) 3t или 3t ± 1;

   б) 4t4t ± 14t ± 2;

Задача 2

Найдите НОД для любых натуральных чисел n

   а) НОД (3; 3n + 2);

   б) НОД (2n + 3; n + 7).

Задача 3

Докажите, что дробь  {12n + 1}/{30n + 2} несократима.

Задача 4

Сократима ли дробь  {20n^3 - 19n^2 + 3n + 3}/{20n + 1}, если сократима, то при каких n?

Задача 5

Сократима ли дробь  {7n^2 + 11n + 4}/{6n^2 + 5n}, если сократима, то при каких n?

Задача 6

Сократима ли дробь  {3n^3 - 8n^2 + 3n + 3}/{20n + 1}, если сократима, то при каких n?

Задача 7

Докажите, что если р - простое число, большее 3, то число  p^2 - 1  делится нацело на 24.

Задача 8

Докажите, что если р и q - простые числа, большие 3, то число  p^2 - q^2  делится нацело на 24.


7.2. Диагностическая работа по С6

Открыть в новой вкладке документ форама PDF