ЕГЭ 2015 (профильный уровень)

Вариант №1

Часть 1

Ответом на задания 1–14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

1. Саша пригласил друзей на свой день рождения, отправив SMS-сообщения 17 друзьям. Отправка одного SMS-сообщения стоит 1 рубль 50 копеек. До отправки сообщений на счету 55 рублей. Сколько рублей останется у Саши после отправки всех сообщений?

2. На диаграмме показано среднемесячное количество осадков, выпавших в Киеве в 2011 году. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — среднемесячное количество осадков, выпавших в соответствующий месяц, в миллиметрах. 

 

Определите по диаграмме наименьшее среднемесячное количество осадков. Ответ дайте в миллиметрах.

3. Для остекления веранды требуется заказать 25 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,4 квадратных метра. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. В какой фирме заказ будет стоить меньше всего? В ответ укажите стоимость этого заказа (в рублях).

4. Найдите площадь закрашенного сектора. В ответ запишите число равное   S/{pi} .

5. На столе лежат 10 карточек, на которых написаны числа от 1 до 10. Миша случайно вытягивает одну карточку. С какой вероятностью число на выбранной карточке является составным?

6. Решите уравнение   {(2x - 3)}^2={(2x + 5)}^2  .

7. В треугольнике АВС, АС = ВС, АВ = 30,  sin A = 0,8 , АН - высота. Найдите ВН.

8. Материальная точка движется прямолинейно по закону

 x(t) = t^3/3 - t^2 - 12t + 9

(где  х - расстояние от точки отсчета в метрах,  t - время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени ее скорость была равна 12 м/с.

9. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Часть 2

10. Найдите значение выражения  {5sin98^0}/{sin49^0 * sin41^0}

11. На рельсах стоит платформа. Скейтбордист прыгает на неё со скоростью v = 3 м/с под острым углом а к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью  где m = 80 кг — масса скейтбордиста со скейтом, а М = 400 кг — масса платформы. Под каким наибольшим углом a (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу до скорости не менее чем 0,25 м/с?

12. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 42. Найдите площадь поверхности шара.


13. Смешали 44 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 56 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

14. Найдите наибольшее значение функции  y = 9cosx + 16x - 8  на отрезке  [-{3{pi}}/2, 0] .

Для записи решений и ответов на задания 15–21 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (15, 16 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

15. а)  Решите уравнение  sin 2x + 2cos^2 x = 1

       б) Найти корни этого уравнения на промежутке  [{pi}/4, {5{pi}}/4]

16. В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1  лежит ромб ABCD с диагоналями AC = 6  и BD = 12. Высота призмы равна  sqrt{15} . Найдите угол между прямыми  AB_1   и D_1C .

17. Решите неравенство  (x - 1)^4 - 15(x - 1)^2 - 16 > 0.

18. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали ВD и делит ее в отношении 1 : 2.  Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCM равна 60.

19. Если положить на вклад «Молодежный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на 12% от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик собирается положить на этот вклад деньги на два года подряд и не пополнять и не снимать со счета. Сколько 29 рублей надо положить вкладчику, чтобы через два года вложенная сумма увеличилась на 1272 рубля?

20. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  (a + 4x - x^2 - 1)(a + 1 - [x + 2]) = 0  имеет ровно три различных корня.

21. Среднее арифметическое трех натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее арифметическое обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.