ЕГЭ 2015

Вариант №3

Часть 1

Ответом на задания В1–В15 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1. Автобус проехал до Москвы 1200 км. Цена бензина 18 рублей за литр. Средний расход топлива 20 литров на 100 км. Сколько рублей потратил на бензин водитель автобуса за эту поездку?

В2. Кузьма Иванович положил 15 тыс. рублей на вклад "Выгодный". Через год он забрал все накопленные деньги - 16725 рублей. Какова годовая процентная ставка по вкладу "Выгодный"?

 

В3. На диаграмме представлены результаты ЕГЭ 2010 по математике (по горизонтали указано число баллов, по вертикали — количество выпускников, набравших данное количество баллов в 2010 году). Красным цветом выделены столбцы диаграммы, соответствующие данным о школьниках, не сдавших экзамен.


Какое минимальное количество баллов надо было получить, чтобы сдать ЕГЭ в 2010 году?

В4. В магазине одежды действует дисконтная система: при предъявлении дисконтной карты предоставляется скидка на покупку в размере 12% от полной стоимости товара. Стоимость покупки составляет 5500 рублей, а цена дисконтной карты 500 рублей. Какой вариант дешевле: оплатить товар по полной стоимости или купить карту и воспользоваться скидкой?

В ответе укажите, наименьшую сумму, которую должен будет заплатить покупатель, выбрав наиболее дешевый вариант (в рублях).

В5. Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки  A (5; 8) и В(-1; 3). 

В6. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

В7. Решите уравнение   {5x-4}/6={4x-5}/5  

В8. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника образует с его стороной угол 60°. Определите высоту треугольника, проведённую к основанию, если его боковая сторона равна 30 см.

В9. Прямая  y = 6x + 9  параллельна касательной к графику функции   y = x^2 + 7x - 6 . Найдите абсциссу точки касания.

В10. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Часть 2

В11. Найдите значение выражения   log_a(a/b^5) , если   log_a{b} = 3

В12. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону  

 

где m0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начала распада, Т — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее m0 = 40 мг изотопа азота-13, период полураспада которого T = 10 мин. В течение скольких минут масса изотопа азота-13 будет не меньше 10 мг?

В13. Стороны основания правильной шестиугольной призмы равны 3, боковые ребра равны 8. Найдите расстояние между вершинами   A  и  D_1 .

 

В14. Автомобиль проехал треть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшееся расстояние — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

В15. Найдите наименьшее значение функции   y = 2(x - 20)sqrt{x + 7} + 5 на отрезке   [-6; 2] .

 

 Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

 

С1. Решите уравнение  7sin^2 x + 4sin x cos x - 3 cos^2 x = 0 . Найдите корни, принадлежащие отрезку  [- {3{pi}}/2; {pi}/2].

C2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 , ребра которой равны 1, найти расстояние от точки A до прямой  BC_1 .

C3. Решите неравенство

  {14^{1 + log_7{x}}}/{7log^2_17(17x)log_{1/7}(49x)}{le}{(4*2^{1 + log_7{x}})^{1 + log_7{x}}}/{4log^2_17(17x)log_{1/7}(49x)} .

C4. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла. 

C5. Найдите все такие целые  a, b , для которых один из корней уравнения  ax^2 + bx + 16 = 0  равен  1 + sqrt{5}.

C6. Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.