ЕГЭ 2015

Вариант №5

В1. Поезд Ростов-на-Дону-Москва отправляется в 14:40, а прибывает в 9:40 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

В2. Гелевая ручка стоит 12 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно купить на 800 рублей после понижения цены на 20%?

В3. На рисунке точками показано суточное количество осадков, выпавших в Кирове с 5 по 17 марта 1975 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа из указанного периода впервые выпало 35 миллиметров осадков.

В4. Журнал "Велогосударство" определяет рейтинги марок велосипедов на основе показателей безопасности S, комфорта G, функциональности F, качества Q И дизайна D. Каждый отдельный показатель оценивается по 5-балльной шкале. Рейтинг R вычисляется по формуле  R = {5S + 3C + 3F + 2Q + 2D}/75. В таблице даны оценки каждого показателя для трех моделей велосипедов. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице велосипедов.

В5. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (3; 1), (7; 1), (7; 7), (9; 7).

В6. На книжной полке Максима 25 книг: 12 детективов, 4 учебника по математике и 9 книг в жанре "фэнтези". Найдите вероятность того, что наудачу взятая в этой полки книга окажется учебником по математике.

В7. Найдите корень уравнения  -3/7x = -45/7.

В8. В треугольнике АВС угол С равен 90°, синус угла ВАС равен  3/5. Найдите косинус угла ВАD.

В9. На рисунке изображены график функции  y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции  y = f(x) в точке x_0.

В10. Найдите квадрат расстояния между вершинами  D и  C_1 прямоугольного параллелепипеда  ABCDA_1B_1C_1D_1 со сторонами  AB = 6 AD = 7 AA_1 = 9.

 Часть 2

В11. Найдите значение выражения {1,44 * 1,05}/{2,1 * 0,12} .

В12. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшлй высоте h над Землей, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле  l = sqrt{2Rh}, где  R = 6400 (км) - радиус Земли. Найдите, с какой высоты линия горизонта видна на расстоянии 4 км. Ответ выразите в метрах.

В13. Найдите объем многогранника, вершины которого являются точки  C, D, A_1, B_1, C_1, D_1 прямоугольного параллелепипеда  ABCDA_1B_1C_1D_1 , у которого  AB = 4, AD = 22, AA_1 = 6 .

В14. Первые два часа автомобиль двигался со скоростью 65 км/ч, следующий час - со скоростью 80 км/ч, а затем три часа - со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

В15. Найдите точку минимума функции y = (x - 2)^2(2x + 3) + 5.

C1. a) Решите уравнение  cos({pi} + x) + sin{{pi} + x}/2 = 1.

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  (3{pi}; {9{pi}}/2).

C2. В правильной треугольной призме  ABCA_1B_1C_1 точка О - центр основания. Диагонали боковых граней  AA_1C_1C и  AA_1B_1Bпересекаются в точках  K и  P соответственно. Найдите площадь сечения, проходящего через точки  O, K, P и составляющего с плоскостью основания угол 30°, если сторона основания равна 12.

С3. Решите систему неравенств:

 27^{2/x} {ge} 3^{{2x + 3}/x} - 18,

 log_{x^2}16 {le} 3 - log_{2x}64.

С4. В прямоугольный треугольник  ABC  c прямым углом  C  вписана окружность. Отрезок  PK  - ортогональная проекция окружности на гипотенузу.

а) Докажите, что угол  PCK = 45^o .

б) Найдите площадь треугольника  PCK , если  AC = 5, BC = 12 .

С5. При каких значениях параметра  a  уравнение

 2log_{ax - 5}(2x^2 - 5x + 4) = log_{sqrt{ax - 5}}(x^2 + 2x - 6)

имеет единственное решение.

С6. Возможно ли в каждом из следующих случаев найти  n целых чисел, сумма которых равна  n и произведение тоже равно  n:

а)  n = 161;

б)  n = 19;

в)  n = 64^k, k {ge} 1.