Профильный уровень (Задачник части С)

4. Планиметрия

4.1. Взаимное расположение линейных фигур (Тренировочная работа 1)

1. На прямой взяты точки A, B и C так, что расстояние между точками A и B равно 5, а между B и C равно 3. Найдите расстояние между точками A и C .

Ответ: 2 или 8.

2. На прямой взяты точки A, B и C так, что точка B расположена правее точки A и AB : BC = 3. Найдите отношение AC : AB.

Ответ: 4/3 или 2/3.

3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и делит ее в отношении 1: 2. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCМ равна 60.

Ответ: 180 или 90.

4. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E , делящая эту сторону прямой в отношении 2 : 3. Отрезок DE пересекает диагональ AC в точке F. Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AFD ?

Ответ: 5/14 или 5/16.

5. В треугольнике ABC AB = 12 , BC = 5, CA = 10 . Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 4 : 9 . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB , касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF .

Ответ: 7/2 и 51/2.

6. В прямоугольнике ABCD AB = 2 , BC = √3. Точка Е на прямой АВ выбрана так, что угол AED равен углу DEC . Найдите АЕ.

Ответ: 1 или 3.

7. Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках М и Т соответственно и образующая с прямой АВ угол α, tg= 3. Найдите площадь треугольника ВМТ, если сторона квадрата ABCD равна 4.

Ответ: 2 или 10.

8. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов А и D делят сторону BC на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его
периметр равен 40.

Ответ: 5; 15 или 8; 12.

9. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла. 

Ответ: 1 или 6.

10. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44 , AD = 100 , AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC , касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK .

Ответ: 5 или 30.

11. Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, угол A = 60. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника ABOD.

Ответ:  {5sqrt{3}}/4, {13sqrt{3}}/6 .

12. Около треугольника ABC описана окружность с центром О. Найдите величину угла ACB , если угол ОСB равен 10°, а угол АОС равен 40°.

Ответ: 60 °  или 80 ° .

13. Трапеция с основаниями  14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции. 

Ответ: 39 или 9.