Профильный уровень (Задачник части С)

4. Планиметрия

4.3. Взаимное расположение окружностей (Тренировочная работа 3)

16. Прямая касается окружностей радиусов R и r. Известно, что расстояние между их центрами равно а, причем R > r и a > r + R. Найдите расстояние между точками касания.

17. Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке В. Через точку В проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке А, а большую - в точке С. Известно, что  AC = 3sqrt{2}. Найдите ВС.

18. Две окружности радиусами 5 и 15 соответственно, касаются в точке А. Через точку В, лежащую на первой окружности, проведена прямая, касающаяся второй окружности, в точке М. Найдите ВМ, если известно, что АВ = 3.

19. Дана окружность радиуса 2 с центром О. Хорда АВ пересекает радиус ОС в точке D, причем  угол CDA равен 120°. Найдите радиус окружности, вписанной в угол ADC и касающейся дуги АС, если  OD = sqrt{3}.

20. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 8 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.

21. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей, если AB = 16 .

22. Окружности с центрами  O_1 и O_2 пересекаются в точках А и В. Известно, что угол  AO_1B = 90^o, AO_2B = 60^o, O_1O_2 = 1. Найдите радиусы окружностей.

23. Окружности радиусов 20 и 3 касаются внутренним образом. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке M . Найдите длины отрезков AM и MB , если AB = 32.

24. В окружности, радиус которой равен 15, проведена хорда AB = 24. Точка С лежит на хорде АВ так, что AC : BC = 1: 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С.

25. На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, D и касающейся прямой ВС.

26. Точка О – центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса ОМ взята точка А. Через точку А проведена прямая, касающаяся окружности в точке К. Известно, что угол OAK равен 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в угол ОАК и касающейся данной окружности внешним образом.