Профильный уровень (Задачник части С)

7. Олимпиадные задачи

7.1. Подготовительные задачи

Задача 1

Докажите, что любое целое число представимо в виде:

   а) 3t или 3t ± 1;

   б) 4t4t ± 14t ± 2;

Задача 2

Найдите НОД для любых натуральных чисел n

   а) НОД (3; 3n + 2);

   б) НОД (2n + 3; n + 7).

Задача 3

Докажите, что дробь  {12n + 1}/{30n + 2} несократима.

Задача 4

Сократима ли дробь  {20n^3 - 19n^2 + 3n + 3}/{20n + 1}, если сократима, то при каких n?

Задача 5

Сократима ли дробь  {7n^2 + 11n + 4}/{6n^2 + 5n}, если сократима, то при каких n?

Задача 6

Сократима ли дробь  {3n^3 - 8n^2 + 3n + 3}/{20n + 1}, если сократима, то при каких n?

Задача 7

Докажите, что если р - простое число, большее 3, то число  p^2 - 1  делится нацело на 24.

Задача 8

Докажите, что если р и q - простые числа, большие 3, то число  p^2 - q^2  делится нацело на 24.