Лекция 12. Признаки равнобедренного треугольника

Признаки равнобедренного треугольника

Признаки равнобедренного треугольника

Признак 1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.


Дано: ΔАВС, ВМ - медиана, высота

Доказать: ΔАВС - р/б

Док-во:

1) ВМ- серединный перпендикуляр АС, тк ВМ - медиана, высота.

2) По свойству серединного перпендикуляра АВ = ВС.

Значит, ΔАВС - р/б.

Признак 2.Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.


Дано: ΔАВС, ВL - биссектриса, высота

Доказать: ΔАВС - р/б

Док-во:

Рассмотрим ΔАВL  и ΔLВС:

1) BL - общая

2) угол АВL = угол LBC (BL - биссектриса)

3) угол АLВ = угол ВLC (BL - высота)

Значит, ΔАВL  и ΔСВL по I признаку равенства треугольников. Следовательно, АВ=ВС как соответственные углы в равных треугольниках. Значит, ΔАВС - р/б.

Признак 3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.


Дано: ΔАВС, угол А = угол С

Доказать: ΔАВС - р/б

Док-во:

Проведем  a - серединный перпендикуляр. 

  • а ∩ АВ = К, тогда по свойству серединного перпендикуляра АК=СК. Значит, ΔАКС - р/б, значит угол А =угол АСК, но по условию угол А = угол АСВ, тогда угол АСВ= угол АСК,  что противоречит основному свойству величины угла.
  • а ∩ АВ = D, тогда по свойству серединного перпендикуляра АD=СD. Значит, ΔАDС - р/б, значит угол А =угол АСD, но по условию угол А = угол АСВ, тогда угол АСВ= угол АСD,  что противоречит основному свойству величины угла.
  • a проходит через В, тгда ВМ - серединный перпендикуляр АС. 

    По свойству серединного перпендикуляра АВ = ВС. Значит, ΔАВС - р/б.

Признак 4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то это треугольник равнобедренный.


Дано: ΔАВС, ВМ - биссектриса, медиана

Доказать: ΔАВС - р/б

Док-во:

1)На луче ВМ отложим MD=BM.
2)Рассмотрим ΔАMD  и ΔСMB:
  • AM=MC (ВМ - медиана)
  • MD=BM (по построению)
  • угол АМD = угол СМВ (вертикальные). Значит, ΔАMD  = ΔСMB по I признаку равенства треугольников.
3)Тогда АD=BC, угол ADM=уголCBM как соответственные стороны и углы в равных треугольниках.
4) угол АВМ=угол СВМ (ВD - биссектриса угла АВС). Поскольку угол СВМ=угол АDМ, то угол АВМ=уголADM.
5) Тогда по признаку 3 ΔDAB - р/б, значит, AD=AB, ΔАВС - р/б.