Вариант 9
14. Точка E — середина ребра BB1 куба ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью D1AE есть равнобокая трапеция.
б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 4.
16. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?
17. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что A B : B C = A P: P D.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O —
центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно
известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD
окружности, AB = 8, 
.
19. Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.