ЕГЭ

13.  а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14.  Точка E  — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  Докажите, что угол между прямыми BE и AD равен углу CBE.

б)  Найдите угол между прямыми BE и AD.

16.  Евгений взял 16 января кредит на сумму 1 млн руб. на 6 месяцев. Условия его возврата таковы. Каждый месяц 1-го числа долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца. Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга. Каждый месяц 15-го числа долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

17.  Из вершины тупого угла C треугольника ABC проведена высота CH. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно, а прямая CH  — эту окружность в точке D.

а)  Докажите, что угол MDN равен сумме углов A и B треугольника ABC.

б)  Найдите отношение MN к AB, если известно, что  CM:MA=1:11 и CN:NB=3:1.

18.  Найдите все значения a, при которых уравнение  на промежутке x ≥ 0 имеет ровно два корня.

19.  На листочке написано несколько натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое‐то число m, выписываемое на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется только одно такое число m, а все остальные числа, равные m, стираются. Например, если задуманы числа 2,3,4,5, то на доске будет записан набор 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14.

а)  Приведите пример записанных на листочке чисел, при которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б)  Существует ли пример таких записанных на листочке чисел, для которых на доске записан набор чисел 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры записанных на листочке чисел, для которых на доске будет записан набор чисел 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.