Лекция 3. Параллелограмм
Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойство 1. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Дано: ABCD – параллелограмм Доказать: АВ=CD, BC=AD, уголA=уголC, уголB=уголD. Доказательство: 1) Рассмотрим ∆ABD и ∆CDB : 1. BD − _________________________; 2. уголABD=угол_______− внутренние накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD. 3. угол______=уголCВD − внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей BD. Следовательно, ∆ABD = ∆CDB по ___ признаку равенства треугольников. 2) Значит, АВ =____, BC=____, уголA=угол____. 3) Рассмотрим ∆АВС и ∆CDA: 1. АВ = CD по доказанному, 2. BC = AD по доказанному, 3. АС − ____________________________. Следовательно, ∆АВС = ∆CDA по ___ признаку равенства треугольников. Значит, __ В =__ D, ч.т.д. |
Свойство 2. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма
Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
|
Дано: ABCD – четырехугольник, АD∥BC, АD=BC. Доказать: ABCD – параллелограмм Доказательство: 1) Проведем BD. 2)Рассмотрим ∆ABD и ∆CDB : 1. BD − _________________________; 2. уголADВ=угол_______− внутренние накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD. 3. АD=BC по ________________________________. Следовательно, ∆ABD = ∆CDB по ___ признаку равенства треугольников. 3) Значит, уголABD=угол____ − накрест лежащие углы. 4)Следовательно, AB ∥ CD и секущей BD. 5) AB ∥ CD и АD∥BC значит, ABCD – параллелограмм, ч.т.д. |
Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
|
Дано: ABCD – четырехугольник, АB=CD, АD=BC. Доказать: ABCD – параллелограмм Доказательство: 1) Проведем BD. 2)Рассмотрим ∆ABD и ∆CDB : 1. BD − _________________________; 2. АB=CD по _______________________________; 3. АD=BC по ________________________________. Следовательно, ∆ABD = ∆CDB по ___ признаку равенства треугольников. 3) Значит, уголABD=угол____ − накрест лежащие углы. 4)Следовательно, AB ∥ CD и секущей BD. 5) AB ∥ CD и АB=CD по 1 признаку значит, ABCD – параллелограмм, ч.т.д. |
Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Теорема. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный
треугольник.
Дано: ABCD – параллелограмм, АF – биссектрисаÐA.
Доказать: ∆ABF – р/б
Доказательство:
1) Рассмотрим ∆ABF:
1. уголDAF=угол____ − накрест лежащие углы при AD ∥ BC и секущей AF;
2. уголDAF=угол____ , АF –___________________________;
Следовательно, уголBAF=угол______
3) ∆ABF – р/б, ч.т.д.
Теорема. Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.
|
Дано: ABCD – параллелограмм. Доказать: ∆ABD =∆DBC. Доказательство: 1) Рассмотрим ∆ABD и ∆DBC: 1. ______=_______ по ___________________________; 2. ______=_______ по ___________________________; 3. ______=_______ по ___________________________; Следовательно, ∆ABD и ∆DBC по ___ признаку равенства треугольников, ч.т.д. |
Теорема. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.