Профильный уровень (Задачник части С)

6. Задачи с параметром

6.2. Уравнения с параметром (Тренировочная работа 3, 4)

Линейные уравнения

1.Найдите наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния и зна­че­ния x и y, при ко­то­рых оно до­сти­га­ет­ся  

2.Найдите наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния    и зна­че­ния    и  , при ко­то­рых оно достигается

Тренировочная работа 3

1. Найдите значение параметра  a , при котором уравнение  3 - 2^{x - a} = (9 - 2^{3x - 3a})^{0,5}  имеет корень  x = 1 . Если таких значений, то в ответ укажите их сумму.

2. При каких значениях параметра  a  уравнение  x^3sqrt{x - 4} - a^3sqrt{x - 4} = 0 имеет два различных действительных корня?

3. При каком значении параметра  a  решением уравнения  log_3{(5x - 2)} + log_3{8} = log_3{a}  является число  x = 1,4 ?

4. При каком значении параметра  a  решением уравнения  cos{x/a} = sqrt{2}/2  является множество  x_1 = 3{pi} +24{pi}n, x_2 = - 3{pi} +24{pi}n, n Z?

5. Найдите все значения параметра  a , при котором уравнение  sqrt{(sin{0,5x} - a)^2} + sqrt{sin^2{0,5x} - 4 sin{0,5x} + 4} = 3 + a  имеет хотя бы один корень.

6. При каких значениях параметра  b  уравнение

 9x + b^2 - (2 - sqrt{3})b - 2sqrt{3} = b^4 x - b^2 (b + sqrt{3})

не имеет корней?

7. При каких значениях параметра  a , при каждом из которых среди корней уравнения

 ax^2 + (a + 4)x + a + 1 = 0

имеется ровно один отрицательный?

8. Найдите все такие целые  a, b , для которых один из корней уравнения  ax^2 + bx + 16 = 0  равен  1 + sqrt{5}.

9. Найдите все значения параметра  a , при каждом из которых уравнения

 (a + 1)x^2 + ([a + 2] - [a + 10])x + a = 5

имеет два различных положительных корня.

10. Найдите все значения параметра  a , при каждом из которых уравнения

 [1 - 2ax] = 1 + (1 - 2a)x + ax^2

имеет единственный корень.

11. Найдите все значения параметра  a , при каждом из которых уравнения

 ax^2 + 2(a + 1)x + a + 3 = 0

имеет два различных корня.

12. Определить количество различных решений уравнения  {x - 5}/{x^2 - b^2} = 0  с параметром  b .

13. При каких значениях параметра  a  уравнение

 {x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 3a - 2}/{x^2 - 6x + 5} = 0

имеет единственное решение?

14. Определите количество различных решений уравнения  [x + 3] = a в зависимости от параметра  a .

15. Сколько решений в зависимости от параметра  a  имеет уравнение  [x + 2] = ax + 1 ?

16. При каких значения  a  уравнение  x^2 -(4a - 2)[x] + 3a^2 - 2a = 0 имеет два различных решения?

17.  Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  x^4 + (a + 1)x^3 + (2a + 1)x^2 - (a + 1) x + 1 = 0  на промежутке  x < -1  имеет не менее двух корней.

18. При каких значения  a  уравнение  2x + 3sqrt{x} +  2a^2 - 11a = 0 имеет единственное решение?

19. При каких значения  a  уравнение  sqrt{x + 1} = x + a имеет единственное решение?

20. При каких значения  a  уравнение  4^x - (5a - 3)2^x + 4a^2 - 3a = 0 имеет единственное решение?

21. При каких значения  a  уравнение  2log^2_3{x} - [log_3{x}] + a = 0 имеет четыре различных корня?

22. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  log_5(25^x - log_5{a}) = x имеет единственное решение.  

23. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  {(x^3 - 1)(x^2 - 16)}/{lg(15a - x) - lg(x - a)} = 0 имеет единственное решение.

24. Найдите все значения параметра  a, при которых уравнение  5x^4 + 7ax + 2a^2 = 0 имеет хотя бы один целый корень.

25. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  cos(sqrt{a^2 - x^2}) = 1 имеет восемь решений.

26. Найдите все значения параметра  x , удовлетворяющие уравнению  log_{x + 2[a] + 1}([a]x + 3) = 2log_{6 - x}(5 - sqrt{7 + x}) при любом действительном значении  a .

27. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение x^2 +(a + 4)^2 = [x + a + 4] + [x - a - 4] имеет единственный корень.

28. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение 2/{x + 1} = a[x -3]на промежутке  x{ge} 0 имеет более двух корней.

Тренировочная работа 4

1. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение  2x^2 + 2*3^{a + 1}x - 9 = 6x - 33*3^{a}  имеет единственное решение. (Если таких значений, то в ответ укажите их сумму.)

2. При каком наименьшем целом значении параметра  a  уравнение  x{sqrt{x - 7}} - a{sqrt{x - 7}} = 0 имеет два различных действительных корня?

3. При каком значении параметра  a  решением уравнения  lg{(3a + x - 2)} + lg{(x + 1)} = lg{72}  является число  x = 5 ?

4. При каких значениях параметра  a  уравнение

 (3a - 1)x^2 + 2ax + 3a - 2 = 0

имеет два действительных различных корня?

5. При каких значениях параметра  a  уравнение

 x^2 + x + {2a - 1}/{a + 5} = 0

не имеет решений?

6. При каких значениях параметра  a  уравнение

{x^2 - ax + 1}/{x + 3} = 0

имеет единственное решение?

7. При каких значения  a  уравнение  1999^{2x} - 4 * 1999^x  - 3a + a^2 = 0 имеет единственное решение?

8. При каких значения  a  уравнение  2a(x + 1)^2 - [x + 1] + 1 = 0 имеет четыре различных корня?

9. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение [5/x - 3] = ax - 2на промежутке  x > 0 имеет более двух корней.

10. Найдите все значения параметра  a , при которых уравнение 36^x - (8a + 5)6^x + 16a^2 + 20a - 14 = 0 имеет единственное решение.